3 реши через дано и решение 8 класс
Краткий ответ: стороны прямоугольника равны
\[
6{,}2\text{ см и }6{,}2\sqrt3\text{ см}\approx10{,}74\text{ см}.
\]
Дано:
\(ABCD\) — прямоугольник;
\(AC\) и \(BD\) — диагонали;
\(O\) — точка их пересечения;
\[
\angle AOB=120^\circ,\qquad AC=12{,}4\text{ см}.
\]
Найти: \(AB\) и \(BC\).
Решение:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: \[ AO=BO=CO=DO=\frac{12{,}4}{2}=6{,}2\text{ см}. \]
Соседние углы при пересечении диагоналей в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle AOD=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]
В треугольнике \(AOD\): \[ AO=OD=6{,}2\text{ см},\qquad \angle AOD=60^\circ. \] Значит, треугольник равносторонний: \[ AD=6{,}2\text{ см}. \] Следовательно, \[ BC=6{,}2\text{ см}. \]
Рассмотрим равнобедренный треугольник \(AOB\). Проведём высоту \(OM\) к стороне \(AB\). Она также делит угол \(AOB\) пополам: \[ \angle AOM=60^\circ. \] Тогда \(\angle OAM=30^\circ\), поэтому в прямоугольном треугольнике \(AOM\): \[ OM=\frac{AO}{2}=3{,}1\text{ см}. \]
По теореме Пифагора: \[ AM=\sqrt{AO^2-OM^2} =\sqrt{6{,}2^2-3{,}1^2} =3{,}1\sqrt3\text{ см}. \]
Так как \(M\) — середина \(AB\), то: \[ AB=2AM=6{,}2\sqrt3\text{ см}\approx10{,}74\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 6{,}2^2+(6{,}2\sqrt3)^2 =38{,}44+115{,}32=153{,}76, \] \[ \sqrt{153{,}76}=12{,}4\text{ см}. \]
Ответ: \[ \boxed{6{,}2\text{ см и }6{,}2\sqrt3\text{ см}\approx10{,}74\text{ см}}. \]
Обсуждение
2 сообщенияПокажи схему с обозначениями к решению реши без корней
Схема
D──────────────C
│ \ / │
│ \ / │
│ \ / │
│ \ / │
│ \ / │
│ O │
│ / \ │
│ / \ │
A──────────────B
\(ABCD\) — прямоугольник,
\(O\) — точка пересечения диагоналей,
\[
AC=12{,}4\text{ см},\qquad \angle AOB=120^\circ.
\]
Дано:
\[ AC=12{,}4\text{ см},\qquad \angle AOB=120^\circ. \]
Найти: \(AB\) и \(BC\).
Решение:
- Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам:
\[ AO=OD=\frac{AC}{2}=\frac{12{,}4}{2}=6{,}2\text{ см}. \]
- Углы \(AOB\) и \(AOD\) — смежные:
\[ \angle AOD=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]
В треугольнике \(AOD\):
\[ AO=OD=6{,}2\text{ см},\qquad \angle AOD=60^\circ. \]
Значит, все его углы равны \(60^\circ\), поэтому:
\[ AD=6{,}2\text{ см}. \]
В прямоугольнике противоположные стороны равны:
\[ BC=AD=6{,}2\text{ см}. \]
- Найдём \(AB\) по теореме Пифагора:
\[ AB^2+BC^2=AC^2, \]
\[ AB^2=12{,}4^2-6{,}2^2, \]
\[ AB^2=153{,}76-38{,}44=115{,}32. \]
Число, квадрат которого примерно равен \(115{,}32\):
\[ AB\approx10{,}74\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{BC=AD=6{,}2\text{ см}} \]
\[ \boxed{AB=CD\approx10{,}74\text{ см}} \]
Без корней результат записан приближённо, с округлением до сотых.
