Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Третья сторона: \(\boxed{2\sqrt{91}\text{ см}}\).
2. \(\boxed{AC=5\sqrt3\text{ см}}\), \(\boxed{R=5\text{ см}}\).

Решение

1. Третья сторона

Используем теорему косинусов:

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \]

Подставим \(a=10\), \(b=12\), \(C=120^\circ\):

\[ c^2=10^2+12^2-2\cdot10\cdot12\cos120^\circ. \]

Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем:

\[ c^2=100+144-240\left(-\frac12\right)=364. \]

\[ c=\sqrt{364}=2\sqrt{91}\text{ см}. \]

Проверка: \(2\sqrt{91}\approx19{,}1\), а \(10+12>19{,}1\), значит такая сторона возможна.

2. Сторона \(AC\) и радиус описанной окружности

Дано:

\[ BC=5\sqrt2\text{ см},\qquad \angle A=45^\circ,\qquad \angle B=60^\circ. \]

Сторона \(BC\) лежит напротив угла \(A\), а сторона \(AC\) — напротив угла \(B\).

По теореме синусов:

\[ \frac{AC}{\sin60^\circ} = \frac{BC}{\sin45^\circ}. \]

Тогда

\[ AC=5\sqrt2\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ} =5\sqrt2\cdot \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}} =5\sqrt3\text{ см}. \]

Для радиуса описанной окружности используем формулу:

\[ BC=2R\sin A. \]

\[ 5\sqrt2=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2. \]

\[ R=5\text{ см}. \]

Принцип: теорему косинусов применяют, когда известны две стороны и угол между ними, а теорему синусов — когда известна сторона и противолежащий ей угол.