Построить график функции y=2x-3

Если имеется в виду функция
\[ y=2x^2, \] то её график — парабола, ветви направлены вверх.

Составим таблицу:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=2x^2&8&2&0&2&8 \end{array} \]

Отметь точки: \[ (-2;8),\quad(-1;2),\quad(0;0),\quad(1;2),\quad(2;8), \] затем плавно соедини их.

Вершина параболы: \[ (0;0), \] ось симметрии — ось \(Oy\).

Для функции
\[ y=x^2-6x+8 \] график — парабола, ветви направлены вверх.

Приведём к виду вершины:

\[ y=x^2-6x+8=(x-3)^2-1. \]

Основные точки

• вершина: \[ (3;-1); \]
• ось симметрии: \[ x=3; \]
• пересечения с осью \(Ox\): \[ x^2-6x+8=0, \] \[ (x-2)(x-4)=0, \] поэтому точки \((2;0)\) и \((4;0)\);
• пересечение с осью \(Oy\): \((0;8)\).

Таблица значений:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&1&2&3&4&5\\ \hline y&3&0&-1&0&3 \end{array} \]

Отметь точки
\[ (1;3),\ (2;0),\ (3;-1),\ (4;0),\ (5;3) \] и плавно соедини их параболой.

Для параболы
\[ y=ax^2+bx+c \] абсцисса вершины находится по формуле:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{b}{2a}. \]

В функции
\[ y=x^2-6x+8 \] \[ a=1,\qquad b=-6. \]

Тогда:

\[ x_{\text{в}}=-\frac{-6}{2\cdot1}=3. \]

Подставим \(x=3\), чтобы найти \(y\):

\[ y_{\text{в}}=3^2-6\cdot3+8=9-18+8=-1. \]

Вершина параболы: \[ \boxed{(3;-1)}. \]

Можно также выделить полный квадрат:

\[ x^2-6x+8=(x-3)^2-1, \]

откуда вершина сразу видна: \((3;-1)\).

Для функции
\[ y=x^2-6x+8 \] удобно взять значения \(x\), симметричные относительно \(x=3\):

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&0&1&2&3&4&5&6\\ \hline y&8&3&0&-1&0&3&8 \end{array} \]

Например:

\[ \begin{aligned} x=0 &: \quad y=8,\\ x=1 &: \quad y=3,\\ x=2 &: \quad y=0,\\ x=3 &: \quad y=-1. \end{aligned} \]

Точки для построения: \[ (0;8),\ (1;3),\ (2;0),\ (3;-1),\ (4;0),\ (5;3),\ (6;8). \]

Для пункта 7.16 г дана функция
\[ y=\sqrt{x+2}-4. \]

Это график \(y=\sqrt{x}\), сдвинутый на 2 единицы влево и на 4 единицы вниз.

Область определения

\[ x+2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -2. \]

Таблица значений

Берём такие \(x\), чтобы \(x+2\) было квадратом:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&2&7&14\\ \hline y&-4&-3&-2&-1&0 \end{array} \]

Точки для построения:

\[ (-2;-4),\quad(-1;-3),\quad(2;-2),\quad(7;-1),\quad(14;0). \]

Отметь эти точки и проведи через них плавную возрастающую кривую, начинающуюся в точке
\[ \boxed{(-2;-4)}. \]

Область значений: \[ y\ge -4. \]

Для функции
\[ y=\sqrt{x+2}-4 \] удобно взять такие значения:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&2&7&14\\ \hline y&-4&-3&-2&-1&0 \end{array} \]

Точки: \[ (-2;-4),\ (-1;-3),\ (2;-2),\ (7;-1),\ (14;0). \]

Пришли фото или запиши саму функцию из задания 7.18(в) — без условия нельзя определить, какие значения нужно найти.

Для задания 7.18(в) дана функция
\[ y=|x|-3. \]

Название функции

Это модульная функция. Её график получается из графика
\[ y=|x| \] сдвигом на 3 единицы вниз.

Таблица значений

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&-3&-2&-1&0&1&2&3\\ \hline y=|x|-3&0&-1&-2&-3&-2&-1&0 \end{array} \]

Точки:

\[ (-3;0),\ (-2;-1),\ (-1;-2),\ (0;-3),\ (1;-2),\ (2;-1),\ (3;0). \]

График имеет V-образную форму:

• вершина: \(\boxed{(0;-3)}\);
• ось симметрии: \(Oy\);
• пересечения с осью \(Ox\): \((-3;0)\) и \((3;0)\);
• область определения: \(x\in\mathbb R\);
• область значений: \(y\ge -3\).

Для построения отметь точки и соедини их двумя прямыми лучами.

26

Пусть \(\beta\) — плоскость треугольника \(ABC\).

Точки \(M\) и \(N\) принадлежат одновременно плоскостям \(\alpha\) и \(\beta\), поэтому

\[ \alpha\cap\beta=MN. \]

Так как \(AC\subset\beta\) и \(AC\parallel\alpha\), то

\[ AC\parallel MN. \]

Кроме того, \(M\in AB\), а \(N\in BC\). Поэтому

\[ \angle ABC=\angle MBN, \] \[ \angle ACB=\angle MNB. \]

Следовательно, по двум углам:

\[ \boxed{\triangle ABC\sim\triangle MBN}. \]

Соответствие вершин:

\[ A\leftrightarrow M,\qquad B\leftrightarrow B,\qquad C\leftrightarrow N. \]

27

Дано:

\[ AB:BC=4:3,\qquad CD=12\text{ см},\qquad CD\parallel\alpha,\qquad B\in\alpha. \]

Рассмотрим плоскость \(\beta=(ABD)\). Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по некоторой прямой \(\ell\), проходящей через \(B\).

Так как \(CD\subset\beta\) и \(CD\parallel\alpha\), то

\[ CD\parallel\ell. \]

Прямая \(\ell\) пересекает прямую \(AD\) в точке \(E\). Значит,

\[ E\in AD,\qquad E\in\alpha, \]

то есть прямая \(AD\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(E\). Кроме того,

\[ BE\parallel CD. \]

Так как \(A,C,B\) лежат на одной прямой, а \(A,D,E\) — на другой, то

\[ \triangle ACD\sim\triangle ABE. \]

Найдём отношение сторон. Пусть

\[ AB=4k,\qquad BC=3k. \]

Тогда

\[ AC=AB-BC=4k-3k=k, \]

поэтому

\[ \frac{AB}{AC}=4. \]

Из подобия треугольников:

\[ \frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}=4. \]

Следовательно,

\[ BE=4\cdot12=48\text{ см}. \]

\[ \boxed{BE=48\text{ см}} \]