реши

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle x\le -3\)
2. \(\displaystyle x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)\)
3. \(\displaystyle x\ge 2\)
4. \(\displaystyle x\ge 3\)
5. \(\displaystyle x<\frac12\)

Решение

Правило:

• если \(a>1\), функция \(a^x\) возрастает, знак неравенства сохраняется;
• если \(0<a<1\), функция \(a^x\) убывает, знак неравенства меняется.

1. \[ \left(\frac13\right)^x\ge 27 \] \[ 27=3^3=\left(\frac13\right)^{-3} \] Так как \(0<\frac13<1\), знак меняется: \[ x\le -3. \]

2. \[ 6^{x^2+2x}>216 \] \[ 216=6^3 \] Основание \(6>1\), поэтому: \[ x^2+2x>3, \] \[ x^2+2x-3>0, \] \[ (x+3)(x-1)>0. \] Произведение положительно вне корней: \[ x<-3\quad\text{или}\quad x>1. \]

3. \[ 0{,}2^x\le \frac1{25} \] \[ 0{,}2=\frac15,\qquad \frac1{25}=\left(\frac15\right)^2. \] Так как \(0<\frac15<1\), знак меняется: \[ x\ge 2. \]

4. \[ 4^{5-2x}\le 0{,}25 \] \[ 0{,}25=\frac14=4^{-1}. \] Так как \(4>1\): \[ 5-2x\le -1, \] \[ -2x\le -6, \] \[ x\ge 3. \]

5. \[ 0{,}4^{2x+1}>0{,}16 \] \[ 0{,}16=0{,}4^2. \] Так как \(0<0{,}4<1\), знак меняется: \[ 2x+1<2, \] \[ 2x<1, \] \[ x<\frac12. \]

Граничные значения в нестрогих неравенствах входят, а в строгих — не входят.