Номер 409, объясни как решать пожалуйста
Краткий ответ:
- \(x\in(-\infty;1]\cup[4;+\infty)\);
- \(x\in(-5;-3)\);
- \(x\in\left(\frac16;\frac12\right)\);
- \(x\in(-\infty;-10)\cup(1;+\infty)\).
1) \(2(x^2+2)\ge x(x+5)\)
Раскроем скобки:
\[ 2x^2+4\ge x^2+5x. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ x^2-5x+4\ge0. \]
Разложим на множители:
\[ (x-1)(x-4)\ge0. \]
Корни: \(x=1\) и \(x=4\). Парабола направлена вверх, поэтому выражение неотрицательно вне промежутка между корнями:
\[ \boxed{x\le1\text{ или }x\ge4}. \]
2) \(x-(x+4)(x+5)>-5\)
Раскроем скобки:
\[ x-(x^2+9x+20)>-5. \]
\[ -x^2-8x-20>-5. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ -x^2-8x-15>0. \]
Умножим на \(-1\), изменив знак неравенства:
\[ x^2+8x+15<0. \]
Разложим:
\[ (x+3)(x+5)<0. \]
Выражение отрицательно между корнями \(-5\) и \(-3\):
\[ \boxed{-5<x<-3}. \]
3) \((6x-1)(6x+1)-(12x-5)(x+2)<7-3x\)
Раскроем скобки:
\[ (36x^2-1)-(12x^2+19x-10)<7-3x. \]
\[ 24x^2-19x+9<7-3x. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ 24x^2-16x+2<0. \]
Разделим на \(2\):
\[ 12x^2-8x+1<0. \]
Разложим:
\[ (6x-1)(2x-1)<0. \]
Корни:
\[ x=\frac16,\qquad x=\frac12. \]
Произведение отрицательно между корнями:
\[ \boxed{\frac16<x<\frac12}. \]
4) \(\dfrac{x-1}{4}-\dfrac{2x-3}{2}<\dfrac{x^2+3x}{8}\)
Умножим всё неравенство на \(8\). Знак не изменится, так как \(8>0\):
\[ 2(x-1)-4(2x-3)<x^2+3x. \]
Раскроем скобки:
\[ 2x-2-8x+12<x^2+3x. \]
\[ -6x+10<x^2+3x. \]
Перенесём всё вправо:
\[ 0<x^2+9x-10. \]
Разложим:
\[ (x+10)(x-1)>0. \]
Корни: \(-10\) и \(1\). Произведение положительно вне промежутка между корнями:
\[ \boxed{x<-10\text{ или }x>1}. \]
Проверка: во всех четырёх случаях используются корни и правило знаков: при произведении двух множителей выражение положительно вне корней и отрицательно между ними, если коэффициент при \(x^2\) положительный.
Обсуждение
8 сообщенийа куда делись 2х²
В первом неравенстве \(2x^2\) не исчезло — оно объединилось с \(-x^2\).
\[ 2(x^2+2)\ge x(x+5) \]
Раскрываем скобки:
\[ 2x^2+4\ge x^2+5x. \]
Переносим всё в левую часть:
\[ 2x^2-x^2-5x+4\ge0. \]
Так как
\[ 2x^2-x^2=x^2, \]
получаем:
\[ x^2-5x+4\ge0. \]
То есть \(2x^2\) не пропало, а после вычитания \(x^2\) осталось \(x^2\).
Показать, как решать такие неравенства методом интервалов?
Да. Метод интервалов применяют так:
- Перенести всё в одну часть, чтобы получилось \(f(x)\ ?\ 0\).
- Разложить \(f(x)\) на множители.
- Найти корни множителей и отметить их на числовой прямой.
- Определить знак выражения на каждом промежутке.
- Выбрать нужные промежутки:
- при \(>0\) или \(<0\) корни не включаются;
- при \(\ge0\) или \(\le0\) корни включаются.
Покажем на первом неравенстве
\[ 2(x^2+2)\ge x(x+5). \]
Переносим всё в левую часть:
\[ 2x^2+4-x^2-5x\ge0, \]
\[ x^2-5x+4\ge0. \]
Раскладываем на множители:
\[ (x-1)(x-4)\ge0. \]
1. Отмечаем корни
\[ x=1,\qquad x=4. \]
Они делят числовую прямую на три промежутка:
\[ (-\infty;1),\qquad(1;4),\qquad(4;+\infty). \]
2. Определяем знаки
| Промежуток | \(x-1\) | \(x-4\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \(x<1\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(1<x<4\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x>4\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Нам нужно:
\[ (x-1)(x-4)\ge0, \]
то есть выбираем промежутки со знаком «плюс». Корни тоже включаем, потому что стоит знак \(\ge\):
\[ \boxed{x\in(-\infty;1]\cup[4;+\infty)}. \]
На числовой прямой это выглядит так:
\[ \leftarrow\!\! \text{закрашено}\ \bullet\!\! \longdashrightarrow\ 1 \qquad 4\ \longdashrightarrow\ \bullet\!\!\text{закрашено}\!\!\longrightarrow \]
Между \(1\) и \(4\) промежуток не берём.
Остальные пункты № 409
2)
После преобразований:
\[ (x+3)(x+5)<0. \]
Корни:
\[ -5,\quad -3. \]
Знаки:
\[ +\quad|\quad-\quad|\quad+ \]
Отрицательный знак находится между корнями:
\[ \boxed{x\in(-5;-3)}. \]
3)
Получаем:
\[ (6x-1)(2x-1)<0. \]
Корни:
\[ x=\frac16,\qquad x=\frac12. \]
Произведение двух множителей отрицательно между корнями:
\[ \boxed{x\in\left(\frac16;\frac12\right)}. \]
4)
Получаем:
\[ (x+10)(x-1)>0. \]
Корни:
\[ -10,\quad 1. \]
Знак «плюс» находится вне промежутка между корнями:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-10)\cup(1;+\infty)}. \]
Главное правило для двух линейных множителей: если старший коэффициент положительный, знаки обычно идут так:
\[ +\quad-\quad+. \]
При неравенстве \(>0\) берём плюсы, при \(<0\) — минус.
а какие знаки между интервалами
Знаки ставят на каждом промежутке, а не между самими промежутками.
Например, для первого неравенства:
\[ (x-1)(x-4)\ge 0. \]
Корни: \(1\) и \(4\). Они делят прямую на три промежутка:
\[ (-\infty;1),\qquad (1;4),\qquad (4;+\infty). \]
Знаки будут такими:
\[ \boxed{+\ \big|\ -\ \big|\ +} \]
То есть:
\[ \begin{array}{c|c} \text{Промежуток} & \text{Знак выражения}\\ \hline (-\infty;1) & +\\ (1;4) & -\\ (4;+\infty) & + \end{array} \]
Проверим, взяв по одному числу из каждого промежутка:
- \(x=0\): \((-1)(-4)=+\);
- \(x=2\): \((1)(-2)=-\);
- \(x=5\): \((4)(1)=+\).
Так как нужно \(\ge0\), выбираем промежутки со знаком «\( + \)» и включаем корни:
\[ \boxed{x\in(-\infty;1]\cup[4;+\infty)}. \]
Для остальных примеров знаки определяются таким же способом. Если старший коэффициент положительный и корни простые, знаки чередуются:
\[ +\;|\;-\;|\;+. \]
а для 3
Для 3-го неравенства после преобразований получили:
\[ (6x-1)(2x-1)<0. \]
Корни множителей:
\[ 6x-1=0 \Rightarrow x=\frac16, \qquad 2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12. \]
Они делят числовую прямую на интервалы:
\[ \left(-\infty;\frac16\right),\quad \left(\frac16;\frac12\right),\quad \left(\frac12;+\infty\right). \]
Определим знаки:
| Интервал | \(6x-1\) | \(2x-1\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \(x<\frac16\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \(\frac16<x<\frac12\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \(x>\frac12\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
Получается:
\[ \boxed{+\ \bigg|\ -\ \bigg|\ +} \]
Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, поэтому берём промежуток со знаком «минус»:
\[ \boxed{x\in\left(\frac16;\frac12\right)}. \]
Корни не включаем, потому что знак неравенства строгий: \(<0\).
