Реши и распиши и рисунок.

Краткие ответы \((g=10\ \text{м/с}^2)\):

1. \(F_{\text{тр}}\approx 44\ \text{Н}\), направлена вверх по наклонной плоскости.
2. \(P=2{,}4\ \text{кН}\).
3. \(F\approx 48\ \text{Н}\).
4. \(v\approx 12{,}6\ \text{м/с}\approx45{,}5\ \text{км/ч}\).
5. \(\mu\approx0{,}19\).
6. \(a=2\ \text{м/с}^2\), \(T=1{,}2\ \text{Н}\).

---

1. Тело соскальзывает с наклонной плоскости

Схема:

                         ↖ N
                         [m] ↗ Fтр
                           ↙ a, v
                           ↓ mg
                        / 
                       / 40°
______________________/____________

Дано:

\[ m=10\ \text{кг},\qquad \alpha=40^\circ,\qquad a=2\ \text{м/с}^2. \]

Вдоль наклонной плоскости тело движется вниз:

\[ mg\sin\alpha-F_{\text{тр}}=ma. \]

Отсюда:

\[ F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha-ma =m(g\sin\alpha-a). \]

Подставим значения:

\[ F_{\text{тр}} =10(10\sin40^\circ-2) \]

\[ F_{\text{тр}} =10(10\cdot0{,}643-2) \approx44{,}3\ \text{Н}. \]

Ответ:

\[ \boxed{F_{\text{тр}}\approx44\ \text{Н}} \]

Проверка:

\[ mg\sin40^\circ\approx64{,}3\ \text{Н},\qquad ma=20\ \text{Н}, \]

\[ 64{,}3-44{,}3=20\ \text{Н}. \]

---

2. Вес космонавта в ракете

Схема:

             ↑ a
             ↑ N = P
          [космонавт]
             ↓ mg

При движении ракеты вверх с ускорением вес космонавта увеличивается:

\[ P-mg=ma. \]

Следовательно,

\[ P=m(g+a). \]

Подставим:

\[ P=80(10+20)=80\cdot30=2400\ \text{Н}. \]

Переведём в килоньютоны:

\[ 2400\ \text{Н}=2{,}4\ \text{кН}. \]

Ответ:

\[ \boxed{P=2{,}4\ \text{кН}} \]

---

3. Движение тела вверх по наклонной плоскости

Схема:

                         ↖ N
                         [m] ↗ F, a
                             ↙ Fтр
                             ↓ mg
                        / 30°
_______________________/____________

Дано:

\[ m=6\ \text{кг},\quad a=0{,}4\ \text{м/с}^2,\quad \alpha=30^\circ,\quad \mu=0{,}3. \]

Сила направлена вверх вдоль плоскости. Сила трения направлена вниз.

Сначала найдём нормальную реакцию:

\[ N=mg\cos\alpha. \]

\[ N=6\cdot10\cdot\cos30^\circ =60\cdot0{,}866 \approx51{,}96\ \text{Н}. \]

Сила трения:

\[ F_{\text{тр}}=\mu N =0{,}3\cdot51{,}96 \approx15{,}59\ \text{Н}. \]

Уравнение движения вдоль плоскости:

\[ F-mg\sin\alpha-F_{\text{тр}}=ma. \]

Отсюда:

\[ F=ma+mg\sin\alpha+F_{\text{тр}}. \]

Подставим:

\[ F=6\cdot0{,}4+6\cdot10\cdot\sin30^\circ+15{,}59 \]

\[ F=2{,}4+30+15{,}59\approx47{,}99\ \text{Н}. \]

Ответ:

\[ \boxed{F\approx48\ \text{Н}} \]

---

4. Трамвай на выпуклом мосту

Схема:

                 ↑ N = P = 102 кН
                 [вагон]
                 ↓ mg
                 ↓ aц = v²/R

              ___/‾‾‾\___
                 середина

На середине выпуклого моста центростремительное ускорение направлено вниз.

Дано:

\[ m=15\ \text{т}=15000\ \text{кг}, \]

\[ R=50\ \text{м},\qquad P=N=102\ \text{кН}=102000\ \text{Н}. \]

Вниз направлена равнодействующая сил:

\[ mg-N=\frac{mv^2}{R}. \]

Отсюда:

\[ v=\sqrt{\frac{(mg-N)R}{m}}. \]

Вес вагона:

\[ mg=15000\cdot10=150000\ \text{Н}. \]

Тогда:

\[ v=\sqrt{\frac{(150000-102000)\cdot50}{15000}} \]

\[ v=\sqrt{160}\approx12{,}6\ \text{м/с}. \]

В километрах в час:

\[ 12{,}6\cdot3{,}6\approx45{,}5\ \text{км/ч}. \]

Ответ:

\[ \boxed{v\approx12{,}6\ \text{м/с}\approx45{,}5\ \text{км/ч}} \]

---

5. Коэффициент трения на наклонной плоскости

Схемы сил:

Удержание груза:              Равномерный подъём:

       ↑ F₁, ↑ Fтр                   ↑ F₂
          [m]                         [m]
           ↓ mg sin α          ↓ Fтр, ↓ mg sin α

Дано:

\[ \alpha=30^\circ,\qquad F_1=40\ \text{Н},\qquad F_2=80\ \text{Н}. \]

При удержании тело стремится скользить вниз, поэтому сила трения направлена вверх:

\[ F_1+F_{\text{тр}}=mg\sin\alpha. \]

При равномерном подъёме сила трения направлена вниз:

\[ F_2=mg\sin\alpha+F_{\text{тр}}. \]

Сложим уравнения:

\[ F_1+F_2=2mg\sin\alpha. \]

\[ 40+80=2mg\cdot\sin30^\circ. \]

\[ 120=mg. \]

Следовательно:

\[ N=mg\cos30^\circ =120\cdot0{,}866 \approx103{,}9\ \text{Н}. \]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[ F_2-F_1=2F_{\text{тр}}. \]

\[ 80-40=2F_{\text{тр}}, \]

\[ F_{\text{тр}}=20\ \text{Н}. \]

Коэффициент трения:

\[ \mu=\frac{F_{\text{тр}}}{N} =\frac{20}{103{,}9} \approx0{,}19. \]

Ответ:

\[ \boxed{\mu\approx0{,}19} \]

Проверка:

\[ 40+20=60\ \text{Н},\qquad 80-20=60\ \text{Н}. \]

---

6. Два груза на блоке

Схема:

       0,10 кг                           0,10 кг + 0,05 кг
          ↑ a                                  ↓ a
          │                                      │
          │                                      │
          └─────────────── O ───────────────────┘
                         блок

Массы:

\[ m_1=100\ \text{г}=0{,}10\ \text{кг}, \]

\[ m_2=100\ \text{г}+50\ \text{г}=150\ \text{г}=0{,}15\ \text{кг}. \]

Более тяжёлый груз движется вниз.

Для всей системы:

\[ a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2}. \]

Подставим:

\[ a=\frac{(0{,}15-0{,}10)\cdot10}{0{,}15+0{,}10} \]

\[ a=\frac{0{,}5}{0{,}25}=2\ \text{м/с}^2. \]

Найдём натяжение нити по лёгкому грузу:

\[ T-m_1g=m_1a. \]

\[ T=m_1(g+a). \]

\[ T=0{,}10(10+2)=1{,}2\ \text{Н}. \]

Перегрузок движется вместе с грузом, потому что его реакция опоры положительна:

\[ N_{\text{пер}}=m_{\text{пер}}(g-a) =0{,}05(10-2)=0{,}4\ \text{Н}>0. \]

Ответ:

\[ \boxed{a=2\ \text{м/с}^2} \]

\[ \boxed{T=1{,}2\ \text{Н}} \]