Реши и Нарисуй график

Для функции на фото
\[ y=|3x-5|+x \]

Краткий ответ

\[ \boxed{ y= \begin{cases} -2x+5, & x\le \dfrac53,\\[2mm] 4x-5, & x\ge \dfrac53. \end{cases}} \]

График состоит из двух лучей с общей вершиной
\[ \boxed{A\left(\frac53;\frac53\right)}. \]

Решение

Модуль раскрываем по знаку выражения \(3x-5\):

\[ 3x-5=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac53. \]

1. Если \(x\le\dfrac53\), то \(3x-5\le0\):

\[ |3x-5|=-(3x-5), \]

\[ y=-(3x-5)+x=-3x+5+x=-2x+5. \]

2. Если \(x\ge\dfrac53\), то \(3x-5\ge0\):

\[ |3x-5|=3x-5, \]

\[ y=3x-5+x=4x-5. \]

Для построения отметь точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&0&1&\frac53&2&3\\ \hline y&5&3&\frac53&3&7 \end{array} \]

Получится график:

 y
 ↑
 7 |                              ● (3;7)
 6 |                            /
 5 |      ● (0;5)             /
 4 |        \                /
 3 |          ● (1;3)     ● (2;3)
 2 |             \       /
 5/3|-------------● A(5/3;5/3)
 1 |
 0 +--------------------------------→ x

Точки слева соединяются лучом с угловым коэффициентом \(-2\), а справа — лучом с угловым коэффициентом \(4\). График целиком расположен выше оси \(Ox\), поэтому нулей функции нет.

Проверка вершины:

\[ f\left(\frac53\right) =\left|3\cdot\frac53-5\right|+\frac53 =0+\frac53=\frac53. \]