Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(AB=20\), \(\sin A=\frac45\), \(\cos A=\frac35\), \(\tg A=\frac43\).
- \(MK=2\sqrt{21}\approx 9{,}17\).
- \(MK=5\), \(\cos K=\frac45\), \(\sin M=\frac45\).
- Треугольник прямоугольный, \(\angle E=90^\circ\); также он разносторонний.
- \(S=8\sqrt3\) — если \(\angle Z=90^\circ\), как показано на рисунке.
- \(BC=14\).
Решение
1. Угол \(C\) прямой, поэтому \(AB\) — гипотенуза:
\[ AB=\sqrt{AC^2+CB^2} =\sqrt{12^2+16^2} =\sqrt{400}=20. \]
Для угла \(A\):
\[ \sin A=\frac{CB}{AB}=\frac{16}{20}=\frac45, \]
\[ \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{20}=\frac35, \]
\[ \tg A=\frac{CB}{AC}=\frac{16}{12}=\frac43. \]
Проверка:
\[ \left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2=1. \]
2. Используем теорему косинусов:
\[ MK^2=MN^2+NK^2-2\cdot MN\cdot NK\cdot\cos N. \]
\[ MK^2=8^2+10^2-2\cdot8\cdot10\cdot\cos60^\circ \]
\[ MK^2=64+100-160\cdot\frac12=84. \]
\[ MK=\sqrt{84}=2\sqrt{21}. \]
3. По координатам:
\[ MN=6-3=3,\qquad NK=6-2=4. \]
Отрезок \(MN\) вертикальный, а \(NK\) горизонтальный, значит \(\angle N=90^\circ\).
\[ MK=\sqrt{(6-2)^2+(3-6)^2} =\sqrt{4^2+(-3)^2} =\sqrt{25}=5. \]
Тогда:
\[ \cos K=\frac{NK}{MK}=\frac45, \]
\[ \sin M=\frac{NK}{MK}=\frac45. \]
Для построения нужно отметить на координатной плоскости точки \(M(2;6)\), \(N(2;3)\), \(K(6;3)\) и соединить их.
4. Проверим теорему Пифагора:
\[ DE^2+EF^2=9^2+12^2=81+144=225, \]
\[ DF^2=15^2=225. \]
Так как
\[ DE^2+EF^2=DF^2, \]
треугольник \(DEF\) прямоугольный, причём гипотенуза \(DF\), поэтому
\[ \angle E=90^\circ. \]
5. По рисунку \(\angle Z=90^\circ\), а \(XY=8\) — гипотенуза.
Найдём катеты:
\[ ZY=XY\cdot\sin30^\circ=8\cdot\frac12=4, \]
\[ XZ=XY\cdot\cos30^\circ =8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3. \]
Площадь:
\[ S=\frac12\cdot XZ\cdot ZY =\frac12\cdot4\sqrt3\cdot4 =8\sqrt3. \]
Если прямой угол при \(Z\) на исходном рисунке не задан, уточни это: без него площадь однозначно найти нельзя.
6. Так как
\[ \angle ABD=\angle CBD, \]
то \(BD\) — биссектриса угла \(B\). По теореме о биссектрисе:
\[ \frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}. \]
Подставим данные:
\[ \frac{5}{7}=\frac{10}{BC}. \]
\[ 5BC=70,\qquad BC=14. \]
