Реши номер 150

Краткий ответ:

а) \(\displaystyle \frac{x-y}{y}\);

б) \(\displaystyle \frac{a^3}{m^4}\);

в) \(\displaystyle \frac{(a+b)(ab+1)}{b}\);

г) \(\displaystyle \frac{2(y-x)}{3x}\).

Решение

а) Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \left(\frac{x}{y^2}-\frac1x\right): \left(\frac1y+\frac1x\right) = \frac{x^2-y^2}{xy^2}:\frac{x+y}{xy}. \]

Разложим разность квадратов:

\[ \frac{(x-y)(x+y)}{xy^2}\cdot\frac{xy}{x+y} =\boxed{\frac{x-y}{y}}. \]

б) Вынесем общие множители:

\[ \left(\frac a{m^2}+\frac{a^2}{m^3}\right): \left(\frac{m^2}{a^2}+\frac ma\right) = \frac{a(m+a)}{m^3}:\frac{m(m+a)}{a^2}. \]

\[ \frac{a(m+a)}{m^3}\cdot\frac{a^2}{m(m+a)} =\boxed{\frac{a^3}{m^4}}. \]

в)

\[ \frac{ab+b^2}{3}:\frac b{3a}+\frac{a+b}{b} = \frac{b(a+b)}3\cdot\frac{3a}{b}+\frac{a+b}{b}. \]

\[ =a(a+b)+\frac{a+b}{b} =(a+b)\left(a+\frac1b\right) =\boxed{\frac{(a+b)(ab+1)}b}. \]

г) Вынесем \(x\) и \((x-y)\):

\[ \frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x^2-xy}{3y} = \frac{x-y}{x}-\frac{5y}{x^2}\cdot\frac{x(x-y)}{3y}. \]

\[ =\frac{x-y}{x}-\frac{5(x-y)}{3x} =\frac{3(x-y)-5(x-y)}{3x} \]

\[ =-\frac{2(x-y)}{3x} =\boxed{\frac{2(y-x)}{3x}}. \]

Проверка: при преобразованиях использованы только разложение на множители и правило деления дробей; сокращение допустимо, если сокращаемые множители не равны нулю.