Реши

Краткий ответ:

1. \(x<-4\).
2. \(x\ge 0\).
3. \(x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac25;+\infty\right)\).
4. \(x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)\).

Решение

1.
\[ 5^{-x}>625=5^4. \] Так как \(5>1\), сравниваем показатели: \[ -x>4 \quad\Longrightarrow\quad x<-4. \]

2.
Представим правую часть как степень того же основания: \[ \frac34=\left(\frac43\right)^{-1}. \] Тогда \[ \left(\frac43\right)^{2x-1}\ge \left(\frac43\right)^{-1}. \] Так как \(\frac43>1\), знаки сохраняются: \[ 2x-1\ge -1, \] \[ 2x\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge0. \]

3.
Поскольку \(0<\frac13<1\), выражение \(\left(\frac13\right)^t\le1\) при \(t\ge0\). Поэтому: \[ 5x^2+8x-4\ge0. \] Найдём корни: \[ D=8^2-4\cdot5\cdot(-4)=144, \] \[ x_1=\frac{-8-12}{10}=-2,\qquad x_2=\frac{-8+12}{10}=\frac25. \] Ветви параболы направлены вверх, значит: \[ x\le-2\quad\text{или}\quad x\ge\frac25. \]

4.
Сделаем замену: \[ t=5^x,\qquad t>0. \] Тогда \[ 5^{2x}-6\cdot5^x+5>0 \] превращается в \[ t^2-6t+5>0, \] \[ (t-1)(t-5)>0. \] Произведение положительно при \[ t<1\quad\text{или}\quad t>5. \] Возвращаемся к \(t=5^x\): \[ 5^x<1\Longrightarrow x<0, \] \[ 5^x>5\Longrightarrow x>1. \] Итак: \[ x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty). \]

Проверка границ: при \(x=-4,\;x=0,\;x=-2,\;x=\frac25,\;x=1\) получается равенство, поэтому в первом и четвёртом неравенствах границы не входят, а в третьем входят.