Реши и распиши задания
Краткие ответы
- \(\boxed{x>4}\)
- \(\boxed{x\ge 0}\)
- \(\boxed{x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac25;+\infty\right)}\)
- \(\boxed{x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)}\)
Решение
1. \(5^x>625\)
Представим \(625\) как степень пятёрки:
\[ 625=5^4. \]
Получаем:
\[ 5^x>5^4. \]
Так как основание \(5>1\), функция возрастает, поэтому сравниваем показатели:
\[ x>4. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(4;+\infty)}. \]
При \(x=4\) получается равенство, поэтому \(4\) не входит в ответ.
2. \(\left(\frac43\right)^{2x-1}\ge \frac34\)
Представим правую часть как степень основания \(\frac43\):
\[ \frac34=\left(\frac43\right)^{-1}. \]
Тогда:
\[ \left(\frac43\right)^{2x-1}\ge \left(\frac43\right)^{-1}. \]
Так как \(\frac43>1\), сравниваем показатели:
\[ 2x-1\ge -1. \]
\[ 2x\ge 0, \]
\[ x\ge 0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in[0;+\infty)}. \]
При \(x=0\) получается равенство, поэтому \(0\) входит в ответ.
3. \(\left(\frac13\right)^{5x^2+8x-4}\le 1\)
Основание \(\frac13\) находится между \(0\) и \(1\). Для такого основания:
\[ \left(\frac13\right)^t\le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad t\ge 0. \]
Значит,
\[ 5x^2+8x-4\ge 0. \]
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
\[ 5x^2+8x-4=(5x-2)(x+2). \]
Получаем:
\[ (5x-2)(x+2)\ge 0. \]
Найдём нули множителей:
\[ 5x-2=0 \Rightarrow x=\frac25, \]
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2. \]
Произведение положительно вне корней:
\[ x\le -2 \quad\text{или}\quad x\ge \frac25. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-2]\cup\left[\frac25;+\infty\right)}. \]
Проверка: при \(x=0\) показатель равен \(-4\), поэтому
\[ \left(\frac13\right)^{-4}=81>1, \]
то есть промежуток \((-2;\frac25)\) действительно не подходит.
4. \(5^{2x}-6\cdot 5^x+5>0\)
Сделаем замену:
\[ t=5^x,\qquad t>0. \]
Тогда:
\[ 5^{2x}=(5^x)^2=t^2. \]
Неравенство примет вид:
\[ t^2-6t+5>0. \]
Разложим на множители:
\[ (t-1)(t-5)>0. \]
Произведение положительно, если оба множителя имеют одинаковые знаки:
\[ t<1 \quad\text{или}\quad t>5. \]
Возвращаемся к \(t=5^x\):
\[ 5^x<1=5^0 \Rightarrow x<0; \]
\[ 5^x>5=5^1 \Rightarrow x>1. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)}. \]
При \(x=0\) и \(x=1\) левая часть равна нулю, поэтому эти точки не входят в ответ.
