Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ \boxed{a_{250}=\frac1{748}} \]

Введём обратную величину: \[ b_n=\frac1{a_n}. \] Тогда из рекуррентной формулы: \[ b_{n+1}=\frac1{a_{n+1}} =\frac{1+3a_n}{a_n} =\frac1{a_n}+3=b_n+3. \]

Так как \[ b_1=\frac1{a_1}=1, \] то \(b_n\) — арифметическая прогрессия: \[ b_n=1+3(n-1)=3n-2. \] Следовательно, \[ a_n=\frac1{3n-2}. \]

При \(n=250\): \[ a_{250}=\frac1{3\cdot250-2} =\frac1{750-2} =\boxed{\frac1{748}}. \]

Проверка: \[ \frac{\frac1{3n-2}}{1+\frac3{3n-2}} =\frac1{3n+1}=a_{n+1}. \]