реши
Разбор уравнений и решений
Мне нужно давать краткие объяснения, внимательно разбирая эти уравнения. В упражнении 222 я вижу три уравнения. Я решу 222а методом подстановки, где \(u = x² + 3\), что приводит к \(u² - 11u + 28 = 0\), имеющему корни 4 и 7. Отсюда \(x² + 3 = 4\), что даёт \(x = \pm1\), а \(x² + 3 = 7\), что даёт \(x = \pm2\). Важно проверять каждый шаг по ходу решения!
Рассмотрение комплексных корней
Я думаю о том, как в дело вступают комплексные корни при \( t^2 = -5 \), что даёт \( t = \pm i\sqrt{5} \). Обычно я рассматриваю это как задачу над действительными числами, поэтому, возможно, нужно уточнить, что это именно случай действительных чисел. Интересно, нужно ли добавить что-то вроде «Если рассматривать комплексные числа...», но, возможно, это необязательно. Я определённо должен проверить результаты подстановкой и упомянуть, что делать дальше. Последняя строка могла бы быть такой: «Пришли правую часть 223, и решу пункты г–е».
Рассмотрение полноты задания
Я думаю, действительно ли нам нужно полностью выполнять это задание. Они предоставили всю страницу, и, думаю, имеет смысл решить всё, что разборчиво. Возможно, я мог бы сказать: «Решаю все полностью читаемые пункты на фото». Это звучит хорошо. Также нужно учитывать, достаточно ли хорошо читаются пункты 223д/е, чтобы с ними работать. Стоит проверить это, прежде чем решать, насколько подробным должно быть решение!
Ответ (в действительных числах):
222.
а) \(x=-2,-1,1,2\);
б) \(x=2\);
в) \(x=-4,3\).
223.
а) \(x=\pm3\);
б) \(y=\pm2,\ \pm\sqrt2\);
в) действительных решений нет.
Решение
222
а) Сделаем замену \(u=x^2+3\):
\[ u^2-11u+28=0, \]
\[ (u-4)(u-7)=0. \]
Значит,
\[ u=4 \quad\text{или}\quad u=7. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x^2+3=4 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1; \]
\[ x^2+3=7 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]
б) Пусть \(u=x^2-4x\). Тогда
\[ u^2+9u+20=0, \]
\[ (u+4)(u+5)=0. \]
- \(u=-4\):
\[ x^2-4x=-4, \]
\[ (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2. \]
- \(u=-5\):
\[ x^2-4x=-5, \]
\[ x^2-4x+5=0. \]
Дискриминант:
\[ D=16-20=-4<0, \]
действительных корней нет.
в) Пусть \(u=x^2+x\). Получим:
\[ u(u-5)=84, \]
\[ u^2-5u-84=0, \]
\[ (u-12)(u+7)=0. \]
- \(u=12\):
\[ x^2+x=12, \]
\[ x^2+x-12=0, \]
\[ (x-3)(x+4)=0. \]
Отсюда \(x=3\) или \(x=-4\).
- \(u=-7\):
\[ x^2+x+7=0, \]
\[ D=1-28=-27<0. \]
Действительных корней нет.
223
Используем замену \(z=x^2\), \(z=y^2\) или \(z=t^2\). Важно: квадрат не может быть отрицательным, поэтому \(z\ge0\).
а)
\[ x^4-5x^2-36=0. \]
Пусть \(z=x^2\):
\[ z^2-5z-36=0, \]
\[ (z-9)(z+4)=0. \]
\(z=9\), так как \(z=-4\) невозможно.
\[ x^2=9 \Rightarrow x=\pm3. \]
б)
\[ y^4-6y^2+8=0. \]
Пусть \(z=y^2\):
\[ z^2-6z+8=0, \]
\[ (z-2)(z-4)=0. \]
\[ y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt2; \]
\[ y^2=4 \Rightarrow y=\pm2. \]
в)
\[ t^4+10t^2+25=0. \]
Пусть \(z=t^2\):
\[ z^2+10z+25=0, \]
\[ (z+5)^2=0. \]
\[ z=-5. \]
Но \(t^2\ge0\), поэтому действительных решений нет.
Проверка: в пункте 222в при \(x=-4\) или \(x=3\) имеем \(x^2+x=12\), а \(12\cdot(12-5)=84\).
Пункты 223 г–е на фото обрезаны.
