реши 620 номер 1,3 пример
Решение тригонометрических уравнений
Мне нужно предоставить ответы для определённых тригонометрических уравнений. Для первого уравнения sin²x = 1/4 приводит к sin x = ±1/2. Общие решения могут включать x = πn ± π/6, где n∈Z. Это охватывает все соответствующие решения.
Для второго уравнения можно положить t = sin x; решение уравнения 2t² + t - 1 = 0 даёт t = 1/2 или t = -1. Это приводит к решениям вида x = π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn и x = 3π/2 + 2πn или -π/2 + 2πn.
Объединение решений
Мне нужно проверить подстановки для уравнений. Для первого уравнения sin²x = 1/4 приводит к упрощению, позволяющему получить правильные ответы. Затем, когда sin x = 1/2, проверка даёт верные результаты. Я понимаю, что следует различать ответы на примере.
Пользователь просит это как «620 номер 1,3 пример», поэтому я позабочусь о включении инструкций вроде «Покажи, как решать №620(2)», чтобы дополнительно направить пользователя.
№ 620
1) \(\sin^2 x=\dfrac14\)
Ответ: \[ x=\pi n\pm \frac{\pi}{6},\qquad n\in\mathbb Z. \]
Решение: \[ \sin^2 x=\frac14 \quad\Rightarrow\quad \sin x=\pm\frac12. \]
Отсюда: \[ \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n; \]
\[ \sin x=-\frac12 \Rightarrow x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n \quad\text{или}\quad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n. \]
Все эти решения кратко записываются так: \[ \boxed{x=\pi n\pm\frac{\pi}{6}},\quad n\in\mathbb Z. \]
Проверка: при \(\sin x=\pm\dfrac12\) \[ \sin^2x=\left(\pm\frac12\right)^2=\frac14. \]
3) \(2\sin^2x+\sin x-1=0\)
Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{6}+2\pi n;\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\quad x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n}, \qquad n\in\mathbb Z. \]
Решение:
Обозначим: \[ t=\sin x. \]
Тогда получаем квадратное уравнение: \[ 2t^2+t-1=0. \]
Разложим на множители: \[ (2t-1)(t+1)=0. \]
Следовательно: \[ t=\frac12 \quad\text{или}\quad t=-1. \]
Возвращаемся к \(\sin x\):
\[ \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n; \]
\[ \sin x=-1 \Rightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n. \]
Проверка: \[ 2\left(\frac12\right)^2+\frac12-1=0, \] \[ 2(-1)^2+(-1)-1=0. \]
