Реши задание на изображении

Ответ: \(\boxed{129}\).

Положим \(t=2^n\). Тогда условие принимает вид: \[ P(t+1)=t^3+1 \] при \(t=1,2,4,16\).

Рассмотрим многочлен \[ Q(t)=P(t+1)-t^3-1. \] Так как \(P\) — приведённый многочлен четвёртой степени, \(Q(t)\) тоже имеет степень \(4\) и старший коэффициент \(1\). При \(t=1,2,4,16\) он равен нулю, значит: \[ Q(t)=(t-1)(t-2)(t-4)(t-16). \]

Найдём \(P(1)\). При \(t=0\): \[ P(1)=Q(0)+1 \] \[ P(1)=(-1)(-2)(-4)(-16)+1=128+1=129. \]

Проверка: при \(t=1,2,4,16\) произведение \(Q(t)\) обращается в ноль, поэтому \(P(t+1)=t^3+1=8^n+1\), как и требуется.