Напиши ответы с пояснениями 9 глава

Вопросы для повторения к главе IX

1. Примеры векторных величин: сила \(\vec F\), скорость \(\vec v\), ускорение \(\vec a\), перемещение \(\vec s\), импульс \(\vec p\).

2. Вектор — направленный отрезок.
   Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают; его длина равна \(0\), направление не определено.

3. Длина ненулевого вектора равна длине изображающего его отрезка.
   \[ |\vec 0|=0. \]

4. Коллинеарные векторы лежат на одной или параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными \((\vec a,\vec b)\) или противоположно направленными \((\vec c,\vec d)\).

5. Векторы равны, если они имеют одинаковые длину и направление: \[ \vec a=\vec b. \]

6. Вектор \(\vec a\) отложен от точки \(A\), если существует точка \(B\), такая что \[ \overrightarrow{AB}=\vec a. \] Через \(A\) проводят единственную прямую нужного направления и откладывают длину \(|\vec a|\), поэтому такой вектор единственный.

7. Сумма \(\vec a+\vec b\) — вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, если второй отложен от конца первого: \[ \overrightarrow{AB}=\vec a,\quad \overrightarrow{BC}=\vec b \Rightarrow \overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b. \]

8. Нулевой вектор не изменяет конечную точку: \[ \vec a+\vec0=\vec a. \]

9. Законы сложения: \[ \vec a+\vec b=\vec b+\vec a, \] \[ (\vec a+\vec b)+\vec c=\vec a+(\vec b+\vec c). \] Первый закон следует из правила параллелограмма, второй — из правила многоугольника.

10. При общем начале двух неколлинеарных векторов строят параллелограмм. Его диагональ, проведённая из общего начала, равна сумме векторов.

11. Чтобы сложить несколько векторов, их откладывают последовательно. Сумма — вектор от начала первого до конца последнего.

12. Разность: \[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b). \] Если \(\overrightarrow{OA}=\vec a\), \(\overrightarrow{OB}=\vec b\), то \[ \vec a-\vec b=\overrightarrow{BA}. \]

13. Противоположный вектор \(-\vec a\) имеет ту же длину, но противоположное направление: \[ |\!-\vec a|=|\vec a|. \] Теорема: \[ \vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b), \] так как \[ (\vec a+(-\vec b))+\vec b=\vec a. \]

14. Произведение \(k\vec a\) имеет длину \[ |k\vec a|=|k|\cdot|\vec a|. \] При \(k>0\) направление сохраняется, при \(k<0\) меняется на противоположное, при \(k=0\) получается нулевой вектор.

15. а) Если \(\vec a=\vec0\), то \[ k\vec a=\vec0. \] б) Если \(k=0\), то \[ k\vec a=\vec0. \]

16. Нет. Векторы \(\vec a\) и \(k\vec a\) всегда коллинеарны.

17. Основные свойства: \[ k(\vec a+\vec b)=k\vec a+k\vec b; \] \[ (k+l)\vec a=k\vec a+l\vec a; \] \[ k(l\vec a)=(kl)\vec a; \] \[ 1\vec a=\vec a,\qquad 0\vec a=\vec0. \]

18. Например, если \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника, то \[ \overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{BC}. \] Значит, \(MN\parallel BC\) и \(MN=\frac12BC\).

19. Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

20. Теорема: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \[ MN\parallel AD\parallel BC,\qquad MN=\frac{AD+BC}{2}. \] Пусть \(M,N\) — середины боковых сторон, а \(O\) — середина диагонали \(AC\). По теореме о средней линии треугольника: \[ MO=\frac{BC}{2},\qquad ON=\frac{AD}{2}. \] Поэтому \(M,O,N\) лежат на одной прямой и \[ MN=MO+ON=\frac{AD+BC}{2}. \]