Реши задание на изображении
Краткий ответ: \(\boxed{4}\) способа.
Обозначим через \(\{...\}\) номера столбцов, в которых вертикальные плитки переходят из текущей строки в следующую. Нумеруем столбцы слева направо.
1. После первой строки
Возможны только такие варианты:
\[ \varnothing,\qquad \{1,2\},\qquad \{1,4\}. \]
Варианты с вертикальной плиткой в 3-м столбце невозможны: во 2-й строке там стоит колонна.
2. После второй строки
Во 2-й строке занята клетка \((2;3)\).
- из состояния \(\varnothing\) получаем \(\{4\}\) или \(\{1,2,4\}\);
- из состояния \(\{1,2\}\) получаем \(\{4\}\);
- из состояния \(\{1,4\}\) получаем \(\{2\}\).
Значит, к третьей строке приходим так:
\[ \{4\}\ — 2\text{ способа},\qquad \{1,2,4\}\ — 1,\qquad \{2\}\ — 1. \]
3. После третьей строки
Во 4-й строке во 2-м столбце стоит колонна, поэтому вертикальная плитка не может переходить туда.
Получаем:
\[ \{3\}\ — 3\text{ способа},\qquad \{1\}\ — 3,\qquad \{1,3,4\}\ — 1. \]
4. Заполняем последнюю строку
- состояние \(\{3\}\) не подходит: клетка в 1-м столбце останется непокрытой;
- состояние \(\{1\}\) подходит: оставшиеся клетки покрываются горизонтальной плиткой;
- состояние \(\{1,3,4\}\) тоже подходит.
Итак,
\[ 3+1=\boxed{4}. \]
Каждая раскладка посчитана ровно один раз, потому что она однозначно определяется положениями вертикальных плиток.
