Задача Задача №3722709
А
А
Как решать степень с рациональным показателем, опиши словами
Кратко: в степени \(a^{\frac{m}{n}}\) знаменатель дроби показывает, корень какой степени нужно извлечь, а числитель — в какую степень возвести результат:
\[ a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m \]
Как решать словами
- Представь показатель степени в виде дроби \(\frac{m}{n}\).
- Посмотри на знаменатель \(n\): извлеки из основания корень \(n\)-й степени.
- Посмотри на числитель \(m\): возведи получившееся число в \(m\)-ю степень.
- Если показатель отрицательный, после вычисления возьми обратное число:
\[ a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} \]
Пример
\[ 16^{\frac34} \]
- знаменатель \(4\) означает: извлечь корень четвёртой степени;
- числитель \(3\) означает: возвести результат в третью степень.
\[ \sqrt[4]{16}=2,\qquad 2^3=8 \]
Значит,
\[ 16^{\frac34}=8. \]
Проверка
Если \(x=a^{\frac{m}{n}}\), то должно выполняться:
\[ x^n=a^m. \]
Для примера:
\[ 8^4=4096,\qquad 16^3=4096. \]
Результат верный.
Для отрицательного основания нужно учитывать область определения: при чётном знаменателе корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.
