Реши задание на изображении

Тогда решу № 5. Пришли, пожалуйста, изображение ещё раз — сейчас оно мне недоступно.

Это продолжение текущего задания — решаем вариант 5.

Дано: \[ \frac{CA}{PC}=\frac{CB}{QC}=\frac75, \qquad PQ=4\text{ см}. \]

1) Докажем, что \(PQ\parallel\alpha\)

Из условия: \[ \frac{PC}{CA}=\frac{QC}{CB}=\frac57. \]

По обратной теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике \(ABC\): \[ PQ\parallel AB. \]

Прямая \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\). Плоскости \(\alpha\) и \(ABC\) пересекаются по прямой \(AB\). Так как \(PQ\subset ABC\) и \(PQ\parallel AB\), прямая \(PQ\) не пересекает плоскость \(\alpha\). Следовательно, \[ \boxed{PQ\parallel\alpha}. \]

2) Найдём \(AB\)

Треугольники \(CPQ\) и \(CAB\) подобны, поэтому: \[ \frac{PQ}{AB}=\frac{PC}{CA}=\frac57. \]

Подставим \(PQ=4\) см: \[ \frac{4}{AB}=\frac57, \] \[ AB=\frac{4\cdot7}{5}=\frac{28}{5}=5{,}6\text{ см}. \]

Ответ: \[ \boxed{AB=5{,}6\text{ см}}. \]

Главное в задаче — заметить, что точки \(P\) и \(Q\) делят стороны треугольника \(ABC\) в одинаковом отношении.

Дано: \[ \frac{CA}{PC}=\frac{CB}{QC}=\frac75,\qquad PQ=4\text{ см}. \]

1. Приведём отношения к удобному виду

Нам нужны отношения от вершины \(C\):

\[ \frac{PC}{CA}=\frac{QC}{CB}=\frac57. \]

Это означает, что \(P\) и \(Q\) находятся на одинаковой доле соответствующих сторон:

• \(CP\) составляет \(\frac57\) от \(CA\);
• \(CQ\) составляет \(\frac57\) от \(CB\).

2. Докажем параллельность

Если точки на двух сторонах треугольника делят эти стороны пропорционально, то отрезок, соединяющий эти точки, параллелен третьей стороне.

Поэтому: \[ PQ\parallel AB. \]

Так как \(AB\) лежит в плоскости \(\alpha\), то прямая \(PQ\), параллельная \(AB\), параллельна плоскости \(\alpha\):

\[ \boxed{PQ\parallel\alpha}. \]

3. Используем подобие треугольников

Из-за параллельности \(PQ\parallel AB\) треугольники \(CPQ\) и \(CAB\) подобны:

\[ \triangle CPQ\sim\triangle CAB. \]

Соответствующие стороны относятся так:

\[ \frac{PQ}{AB}=\frac{CP}{CA}=\frac57. \]

Подставляем \(PQ=4\):

\[ \frac{4}{AB}=\frac57. \]

Решаем пропорцию:

\[ 5AB=4\cdot7, \] \[ AB=\frac{28}{5}=5{,}6\text{ см}. \]

Ответ

\[ \boxed{PQ\parallel\alpha,\qquad AB=5{,}6\text{ см}}. \]

Общий приём: если в треугольнике отрезок соединяет точки на двух сторонах и эти стороны разделены пропорционально, сначала доказывают параллельность, а затем используют подобие треугольников для нахождения длины.