Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Построить последовательно:

   • \(\overrightarrow{PQ}=\dfrac12\vec a\), \(\overrightarrow{QR}=3\vec b\), тогда
     \[ \overrightarrow{PR}=\dfrac12\vec a+3\vec b. \]
   • \(\overrightarrow{PS}=2\vec b\), \(\overrightarrow{ST}=-\vec a\), тогда
     \[ \overrightarrow{PT}=2\vec b-\vec a. \]

2. \[ \boxed{\overrightarrow{AO}=\dfrac12(\vec a+\vec b)} \] \[ \boxed{\overrightarrow{AK}=\vec a+\dfrac12\vec b} \] \[ \boxed{\overrightarrow{KD}=-\vec a+\dfrac12\vec b} \]

3. Средняя линия трапеции: \[ \boxed{12\text{ см}} \]

4. \[ \boxed{\overrightarrow{AO}=\dfrac13(\vec a+\vec b)} \]

Ключевые шаги

1. Построение векторов

Используем правило сложения векторов «конец одного — начало следующего»:

\[ \overrightarrow{PR} =\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR} =\frac12\vec a+3\vec b. \]

Для второго вектора учитываем, что вычитание — это прибавление противоположного вектора:

\[ 2\vec b-\vec a=2\vec b+(-\vec a). \]

Вектор \(-\vec a\) имеет ту же длину, что и \(\vec a\), но направлен противоположно.

2. Ромб \(ABCD\)

Так как ромб является параллелограммом,

\[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b. \]

Поэтому

\[ \overrightarrow{AC} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\vec a+\vec b. \]

Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), значит:

\[ \overrightarrow{AO} =\frac12\overrightarrow{AC} =\frac12(\vec a+\vec b). \]

Точка \(K\) — середина \(BC\), поэтому:

\[ \overrightarrow{BK}=\frac12\vec b. \]

Тогда

\[ \overrightarrow{AK} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK} =\vec a+\frac12\vec b. \]

Наконец,

\[ \overrightarrow{KD} =\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD} =-\overrightarrow{AK}+\vec b =-\vec a+\frac12\vec b. \]

3. Средняя линия трапеции

Пусть части большего основания равны \(5\) см и \(12\) см.

Для равнобедренной трапеции:

• большее основание равно их сумме: \[ B=5+12=17\text{ см}; \]
• меньшее основание равно их разности: \[ b=12-5=7\text{ см}. \]

Средняя линия:

\[ m=\frac{B+b}{2} =\frac{17+7}{2} =12\text{ см}. \]

Проверка: средняя линия равна большему из данных отрезков — \(12\) см.

4. Точка пересечения медиан

Пусть \(M\) — середина \(BC\). Тогда

\[ \overrightarrow{AM} =\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) =\frac12(\vec a+\vec b). \]

Точка пересечения медиан делит медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поэтому

\[ \overrightarrow{AO} =\frac23\overrightarrow{AM} =\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b) =\frac13(\vec a+\vec b). \]