Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. а) \(\displaystyle \frac12\vec a+3\vec b\);
   б) \(\displaystyle 2\vec b-\vec a=2\vec b+(-\vec a)\).

2. \[ \boxed{\overrightarrow{AO}=\frac12\vec a+\frac12\vec b} \] \[ \boxed{\overrightarrow{AK}=\vec a+\frac12\vec b} \] \[ \boxed{\overrightarrow{KD}=-\vec a+\frac12\vec b} \]

3. \[ \boxed{12\text{ см}} \]

4. \[ \boxed{\overrightarrow{AO}=\frac13(\vec a+\vec b)} \]

Решение

1. Построение векторов

Сумма двух векторов строится как диагональ параллелограмма.

а) Построить вектор \(\frac12\vec a\), то есть вектор того же направления, но в два раза короче, и вектор \(3\vec b\), в три раза длиннее \(\vec b\). Затем построить их сумму:

\[ \frac12\vec a+3\vec b. \]

б) Построить \(2\vec b\) и вектор \(-\vec a\), направленный противоположно \(\vec a\). Их сумма даст:

\[ 2\vec b+(-\vec a)=2\vec b-\vec a. \]

2. Ромб \(ABCD\)

Так как ромб является параллелограммом,

\[ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec b. \]

Точка \(K\) — середина \(BC\), поэтому

\[ \overrightarrow{BK}=\frac12\vec b. \]

Диагонали ромба пересекаются и делятся пополам. Поэтому:

\[ \overrightarrow{AC}=\vec a+\vec b, \]

\[ \overrightarrow{AO}=\frac12\overrightarrow{AC} =\frac12\vec a+\frac12\vec b. \]

Далее,

\[ \overrightarrow{AK} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK} =\vec a+\frac12\vec b. \]

Наконец,

\[ \overrightarrow{KD} =\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD} =-\left(\vec a+\frac12\vec b\right)+\vec b =-\vec a+\frac12\vec b. \]

3. Равнобедренная трапеция

Пусть большее основание состоит из отрезков \(5\) см и \(12\) см.

В равнобедренной трапеции меньшее основание равно разности этих отрезков:

\[ b=12-5=7\text{ см}. \]

Большее основание:

\[ a=5+12=17\text{ см}. \]

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

\[ m=\frac{a+b}{2} =\frac{17+7}{2} =12\text{ см}. \]

Проверка: \(\frac{17+7}{2}=12\).

4. Точка пересечения медиан треугольника

Пусть \(M\) — середина \(BC\). Тогда

\[ \overrightarrow{AM} =\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right) =\frac12(\vec a+\vec b). \]

Центроид \(O\) делит медиану в отношении \(AO:OM=2:1\), значит

\[ \overrightarrow{AO} =\frac23\overrightarrow{AM} =\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b) =\frac13(\vec a+\vec b). \]