Реши задание на изображении
Краткий ответ
а) \(\displaystyle \frac{2bc^2}{5a}\);
б) \(\displaystyle 4ab\);
в) \(\displaystyle \frac{(a+b)^3}{2a^5b}\);
г) \(\displaystyle 25a^2-x^2\).а) \(\displaystyle \frac{x+5}{x(5-x)}\);
б) \(\displaystyle \frac{x+3}{x^2-3x+9}\);
в) \(\displaystyle \frac{x+1}{x-6}\).
Решение
1. Упростите выражение
а) При умножении дробей перемножаем числители и знаменатели:
\[ \frac{ab^2}{5c}\cdot\frac{2c^3}{a^2b} = \frac{2ab^2c^3}{5a^2bc} = \frac{2bc^2}{5a}. \]
б) Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:
\[ \frac{a+b}{2ab}:\frac{a+b}{8a^2b^2} = \frac{a+b}{2ab}\cdot\frac{8a^2b^2}{a+b} = 4ab. \]
в) Возводим дробь в третью степень:
\[ 4a^4b^2:\left(\frac{2a^3b}{a+b}\right)^3 = 4a^4b^2\cdot\left(\frac{a+b}{2a^3b}\right)^3. \]
\[ = \frac{4a^4b^2(a+b)^3}{8a^9b^3} = \frac{(a+b)^3}{2a^5b}. \]
г) Сокращаем одинаковый множитель:
\[ \frac{5a-x}{5a+x}\cdot(5a+x)^2 = (5a-x)(5a+x). \]
Используем формулу разности квадратов:
\[ (5a-x)(5a+x)=25a^2-x^2. \]
2. Упростите выражение
а) Разложим знаменатели на множители:
\[ x^2+5x=x(x+5),\qquad 25-x^2=(5-x)(x+5). \]
\[ \frac{5}{x(x+5)}+\frac{x+15}{(5-x)(x+5)} = \frac{5(5-x)+x(x+15)}{x(x+5)(5-x)}. \]
\[ = \frac{25-5x+x^2+15x}{x(x+5)(5-x)} = \frac{(x+5)^2}{x(x+5)(5-x)} = \frac{x+5}{x(5-x)}. \]
б) Используем формулу суммы кубов:
\[ x^3+27=(x+3)(x^2-3x+9). \]
\[ \frac1{x+3}+\frac{9x}{x^3+27} = \frac{x^2-3x+9+9x}{(x+3)(x^2-3x+9)}. \]
\[ = \frac{x^2+6x+9}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \frac{x+3}{x^2-3x+9}. \]
в) Вынесем \(x\) за скобки:
\[ x^2-6x=x(x-6). \]
\[ \frac2x+\frac{12}{x(x-6)}-\frac{1-x}{x-6} = \frac{2(x-6)+12-x(1-x)}{x(x-6)}. \]
\[ = \frac{2x-12+12-x+x^2}{x(x-6)} = \frac{x^2+x}{x(x-6)} = \frac{x+1}{x-6}. \]
Ограничения
Ограничения исходных выражений нужно сохранить:
- в 1а: \(a\ne0,\ b\ne0,\ c\ne0\);
- в 1б и 1в: \(a\ne0,\ b\ne0,\ a+b\ne0\);
- в 1г: \(5a+x\ne0\);
- во 2а: \(x\ne-5,\ 0,\ 5\);
- во 2б: \(x\ne-3\);
- во 2в: \(x\ne0,\ 6\).
Главный принцип: сначала разложить на множители, затем привести к общему знаменателю или заменить деление умножением на обратную дробь и сократить одинаковые множители.
