Реши задание на изображении

Краткий ответ:

1. \(\displaystyle y=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}\).
2. \(\displaystyle x=\frac{2}{11}\).
3. Решений нет: \(\varnothing\).

1) \(\displaystyle \frac{2}{y^2-3y}-\frac{1}{y-3}=\frac{5}{y^3-9y}\)

ОДЗ: \[ y\ne0,\quad y\ne3,\quad y\ne-3. \]

Разложим знаменатели: \[ y^2-3y=y(y-3),\qquad y^3-9y=y(y-3)(y+3). \]

Умножим уравнение на \(y(y-3)(y+3)\): \[ 2(y+3)-y(y+3)=5. \]

Раскроем скобки: \[ 2y+6-y^2-3y=5, \] \[ -y^2-y+1=0, \] \[ y^2+y-1=0. \]

По формуле корней: \[ y=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt5}{2}. \]

Оба корня не нарушают ОДЗ.

2) \(\displaystyle \frac{x-2}{x+2}=\frac{x+3}{x-4}\)

ОДЗ: \[ x\ne-2,\qquad x\ne4. \]

Перемножим крест-накрест: \[ (x-2)(x-4)=(x+3)(x+2). \]

Раскроем скобки: \[ x^2-6x+8=x^2+5x+6, \] \[ -11x=-2, \] \[ x=\frac{2}{11}. \]

Проверка: \[ \frac{\frac{2}{11}-2}{\frac{2}{11}+2} =\frac{-20/11}{24/11}=-\frac56, \] \[ \frac{\frac{2}{11}+3}{\frac{2}{11}-4} =\frac{35/11}{-42/11}=-\frac56. \]

Ответ верный.

3) \(\displaystyle \frac3x+\frac4{x-1}=\frac{5-x}{x^2-x}\)

ОДЗ: \[ x\ne0,\qquad x\ne1. \]

Так как \[ x^2-x=x(x-1), \] умножим всё уравнение на \(x(x-1)\): \[ 3(x-1)+4x=5-x. \]

Решаем: \[ 3x-3+4x=5-x, \] \[ 7x-3=5-x, \] \[ 8x=8, \] \[ x=1. \]

Но \(x=1\) запрещено ОДЗ, так как знаменатели обращаются в ноль. Поэтому:

\[ \boxed{\varnothing} \]

Правило для дробных уравнений: сначала записать ОДЗ, затем умножить на общий знаменатель, решить уравнение и проверить корни по ОДЗ.