Реши задание на изображении
Решение квадратного уравнения
Я работаю над подстановкой \( t \) вместо обратной величины и решением квадратного уравнения. Важно не только решить его, но и затем выполнить обратную подстановку. Обязательно нужно помнить об исключении случаев, когда знаменатель может быть равен нулю. Моя цель — дать краткий ответ, начиная с короткого пояснения, а затем привести список шагов для ясности. Давайте изложим всё просто, но достаточно подробно!
Проверка вычислений
Я рассматриваю найденные значения и то, как они вписываются в таблицу со значениями \(t\) и \(x\). Похоже, всё верно, поскольку корни по \(t\) удовлетворяют преобразованным квадратным уравнениям, не приводя к проблемам со знаменателями. Возможно, добавление прямых проверок усилит решение. Я могу перепроверить значения для каждого \(x\): например, для \(x=1/2\) убедиться, что уравнение действительно обращается в ноль. Нужно убедиться, что каждый шаг выполнен точно!
Проверка уравнений и возникающих вопросов
Я хочу убедиться, что ясно использую \(t=1/(x-a)\), и не упоминать область определения. Возможно, в уравнении 3 есть сомнение: при \(x=2\) знаменатель \(x-3=-1\), что допустимо. Нужно ещё раз проверить, что из-за обрезки снимка не возникло скрытой проблемы — всё должно быть видно. Теперь можно перейти к ответу!
Краткий ответ:
- \(x=\dfrac12,\,-\dfrac15\).
- \(x=1,\,-\dfrac13\).
- \(x=\dfrac{13}{4},\,2\).
- \(x=\dfrac32,\,\dfrac56\).
- \(x=2,\,\dfrac23\).
Решение
Во всех уравнениях удобно заменить дробь с переменной на новую переменную.
1)
\[ \frac1{x^2}+\frac3x-10=0,\qquad x\ne0. \]
Пусть \[ t=\frac1x. \] Тогда \[ t^2+3t-10=0, \] \[ (t-2)(t+5)=0. \]
Значит, \[ t=2\quad\text{или}\quad t=-5. \]
Возвращаемся к \(x\): \[ \frac1x=2\Rightarrow x=\frac12; \qquad \frac1x=-5\Rightarrow x=-\frac15. \]
2)
\[ \frac1{x^2}+\frac2x-3=0,\qquad x\ne0. \]
Пусть \(t=\dfrac1x\). Тогда \[ t^2+2t-3=0, \] \[ (t-1)(t+3)=0. \]
\[ t=1\Rightarrow x=1; \qquad t=-3\Rightarrow x=-\frac13. \]
3)
\[ \frac1{(x-3)^2}-\frac3{x-3}-4=0,\qquad x\ne3. \]
Пусть \[ t=\frac1{x-3}. \] Тогда \[ t^2-3t-4=0, \] \[ (t-4)(t+1)=0. \]
\[ t=4\Rightarrow x-3=\frac14\Rightarrow x=\frac{13}{4}; \] \[ t=-1\Rightarrow x-3=-1\Rightarrow x=2. \]
4)
\[ \frac1{(x-1)^2}+\frac4{x-1}-12=0,\qquad x\ne1. \]
Пусть \[ t=\frac1{x-1}. \] Получаем: \[ t^2+4t-12=0, \] \[ (t-2)(t+6)=0. \]
\[ t=2\Rightarrow x-1=\frac12\Rightarrow x=\frac32; \] \[ t=-6\Rightarrow x-1=-\frac16\Rightarrow x=\frac56. \]
5)
\[ \frac1{(x-1)^2}+\frac2{x-1}-3=0,\qquad x\ne1. \]
Пусть \[ t=\frac1{x-1}. \] Тогда \[ t^2+2t-3=0, \] \[ (t-1)(t+3)=0. \]
\[ t=1\Rightarrow x-1=1\Rightarrow x=2; \] \[ t=-3\Rightarrow x-1=-\frac13\Rightarrow x=\frac23. \]
Проверка: во всех случаях полученные значения \(t\) являются корнями соответствующих квадратных уравнений, а найденные \(x\) не нарушают ОДЗ, поэтому ответы верны.
