Реши с объяснением номер 492
Краткий ответ:
а) \((x,y)=\left(-2;\frac13\right)\), \((5;-2)\);
б) \((x,y)=(0;-1)\), \((3;5)\);
в) \((x,y)=(3;5)\), \((6;-1)\).
а)
\[ \begin{cases} x+3y=-1,\\ x^2+2xy+y=3. \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ x=-1-3y. \]
Подставим во второе:
\[ (-1-3y)^2+2(-1-3y)y+y=3. \]
Раскроем скобки:
\[ 1+6y+9y^2-2y-6y^2+y=3, \]
\[ 3y^2+5y-2=0. \]
Разложим на множители:
\[ (3y-1)(y+2)=0. \]
Отсюда:
\[ y=\frac13 \quad \text{или} \quad y=-2. \]
Находим \(x\):
- если \(y=\frac13\), то \[ x=-1-3\cdot\frac13=-2; \]
- если \(y=-2\), то \[ x=-1-3(-2)=5. \]
Ответ:
\[ \boxed{\left(-2;\frac13\right),\ (5;-2)}. \]
б)
\[ \begin{cases} 2x-y=1,\\ xy-y^2+3x=-1. \end{cases} \]
Выразим \(y\):
\[ y=2x-1. \]
Подставим:
\[ x(2x-1)-(2x-1)^2+3x=-1. \]
\[ 2x^2-x-(4x^2-4x+1)+3x=-1, \]
\[ -2x^2+6x-1=-1, \]
\[ -2x^2+6x=0, \]
\[ -2x(x-3)=0. \]
Значит,
\[ x=0 \quad \text{или} \quad x=3. \]
Находим \(y\):
- при \(x=0\): \(y=2\cdot0-1=-1\);
- при \(x=3\): \(y=2\cdot3-1=5\).
Ответ:
\[ \boxed{(0;-1),\ (3;5)}. \]
в)
\[ \begin{cases} 2x+y-11=0,\\ 2x+5y-y^2-6=0. \end{cases} \]
Из первого уравнения:
\[ 2x=11-y. \]
Подставим во второе:
\[ (11-y)+5y-y^2-6=0, \]
\[ -y^2+4y+5=0, \]
\[ y^2-4y-5=0, \]
\[ (y-5)(y+1)=0. \]
Отсюда:
\[ y=5 \quad \text{или} \quad y=-1. \]
Находим \(x\):
- при \(y=5\): \[ 2x=11-5=6,\qquad x=3; \]
- при \(y=-1\): \[ 2x=11-(-1)=12,\qquad x=6. \]
Ответ:
\[ \boxed{(3;5),\ (6;-1)}. \]
Принцип: сначала из линейного уравнения выражают одну переменную, затем подставляют её во второе уравнение. Получают квадратное уравнение, находят значения переменной и возвращаются к первому уравнению, чтобы найти вторую.
Проверка показывает, что все найденные пары удовлетворяют обоим уравнениям каждой системы.
