Реши задание на изображении

Ответ: \(\boxed{1025}\).

Обозначим \[ Q(x)=(x-1)^3+1. \] Если \(x=2^n+1\), то \(x-1=2^n\), поэтому \[ Q(2^n+1)=(2^n)^3+1=8^n+1. \] Значит, \(P(x)\) и \(Q(x)\) совпадают при \[ x=3,\;5,\;9,\;17. \]

Многочлен \(P(x)-Q(x)\) имеет четвёртую степень и является приведённым, поэтому \[ P(x)-Q(x)=(x-3)(x-5)(x-9)(x-17). \] Следовательно, \[ P(1)=Q(1)+(1-3)(1-5)(1-9)(1-17). \] Вычислим: \[ Q(1)=(1-1)^3+1=1, \] \[ (1-3)(1-5)(1-9)(1-17) =(-2)(-4)(-8)(-16)=1024. \] Тогда \[ P(1)=1+1024=\boxed{1025}. \]

Проверка: при \(x=3,5,9,17\) произведение равно нулю, поэтому \(P(x)=Q(x)=8^n+1\), как требуется.