Условие задачи: Найти предел: \(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\)

Question 1

Задача · 11 класс Задача №3723174

А

Аноним

13 октября 2026 12:16 · публичный вопрос

А

Аноним 13 октября 2026 12:16

Условие задачи: Найти предел: \(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\)

Answer

Ответ: \[ \boxed{\frac12} \]

Ключевые шаги

При \(x\to 0\): \[ e^x-1-x\to 0,\qquad x^2\to 0, \] получаем неопределённость \(\frac00\). Применим правило Лопиталя дважды:

\[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{e^x}{2} = \frac12. \]

Принцип для похожих задач

Используем разложение: \[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2). \] Тогда \[ e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2), \] и после деления на \(x^2\) остаётся главный коэффициент: \[ \frac{e^x-1-x}{x^2}\to\frac12. \]

Question 2

Условие задачи: Найти предел: \(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\)

Answer

**Ответ:** \[ \boxed{\frac12} \] ### Ключевые шаги При \(x\to 0\): \[ e^x-1-x\to 0,\qquad x^2\to 0, \] получаем неопределённость \(\frac00\). Применим правило Лопиталя дважды: \[ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x} = \lim_{x\to0}\frac{e^x}{2} = \frac12. \] ### Принцип для похожих задач Используем разложение: \[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2). \] Тогда \[ e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2), \] и после деления на \(x^2\) остаётся главный коэффициент: \[ \frac{e^x-1-x}{x^2}\to\frac12. \]

Условие задачи: Найти предел: \(\lim _{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\)

Ключевые шаги

Принцип для похожих задач

Обсуждение