номер 1.194
Уточнение отношений между множествами
Сначала мне нужно изложить краткое резюме на русском языке. Цель состоит в том, чтобы убедиться, что N является подмножеством M. Я могу определить M с помощью определённых степеней 2, например \(2^1\) до \(2^{10}\). Для N я рассмотрю степени 4, используя форму \(4^k=(2^2)^k=2^{2k}\) для показателей степени от 1 до 5.
Я также могу проверить мощности множеств, чтобы подтвердить, что все значения N соответствуют M, проверив пересечения и объединения. Добавление финальной проверки в качестве «проверки результата» поможет прояснить всё.
Краткий ответ:
\[ M\cap N=\{4;\ 16;\ 64;\ 256;\ 1024\}, \]
\[ M\cup N=\{2;\ 4;\ 8;\ 16;\ 32;\ 64;\ 128;\ 256;\ 512;\ 1024\}. \]
Решение:
Множество \(M\):
\[ M=\{2^1,2^2,\ldots,2^{10}\} =\{2;4;8;16;32;64;128;256;512;1024\}. \]
Множество \(N\):
\[ N=\{4^1,4^2,\ldots,4^5\} =\{4;16;64;256;1024\}. \]
Так как
\[ 4^k=(2^2)^k=2^{2k}, \]
все элементы \(N\) являются элементами \(M\). Значит, \(N\subset M\). Поэтому:
\[ M\cap N=N,\qquad M\cup N=M. \]
