Реши 51 и 52
Вычисление значений выражений
В этом упражнении я нахожу значения нескольких выражений, содержащих степени. Например, в первом мне нужно вычислить \(7^5 \cdot 7^{-7}\) и продолжать применять правила действий со степенями. Во втором я умножу \(10^{-12} \cdot 10^{15}\). Также есть деление и другие комбинации оснований. Я позабочусь о точности и необходимости вычислений. Наконец, я хочу убедиться, что правильно записал название предыдущего упражнения, которое, вероятно, переводится как «Упрощение выражения».
Упрощение выражений
Думаю, пользователи могут стремиться упростить выражения, вероятно, избегая отрицательных степеней. В контексте упражнения 51 я отмечаю, что оно посвящено упрощению выражений. Мне нужно уточнить, допустимы ли отрицательные показатели степеней. Судя по списку, примеры содержат отрицательные степени. Например, в первом получается \(a^4\), а во втором — \(a^{-4}\), что можно записать как \(1/a^4\). Мне нужно определить, ожидается ли сохранение отрицательных показателей или их запись в виде равносильных дробей.
Вычисление упрощённых выражений
Пользователь хочет получить краткий ответ, поэтому мне нужно убедиться, что я придерживаюсь правильных требований. Вычислим по шагам:
- 3 - 6 + 10 - 20 равно -16, что даёт \(a^{-16}\).
- Для 4: \(a^{-3}\), делённое на \(a^5\), даёт \(a^{-8}\).
- Для 5: -4 - (-12) равно 8, что приводит к \(a^8\).
- В 6: \(a^{17}\), умноженное на \(a^{-23}\), равно \(a^{-15}\), что упрощается до \(a^9\).
- Для 7: -4, умноженное на 8, равно -32, что даёт \(a^{-32}\).
- Что касается 8, мне нужно проверить закономерности упрощения показателей степеней, особенно при работе с отрицательными и целыми числами.
Применение правил действий со степенями
Я разбираю некоторые правила действий со степенями. Сначала я преобразую выражения вроде \((-3)^{-3} = a^{-6}b^{9}\) в более простой вид. Затем раскрываю \((a^{-4}b^{-9})^{6} = a^{-24}b^{-54}\) и упрощаю до \(a^{-30}b^{-45}\), что равно \(1/(a^{30}b^{45})\).
Далее я работаю с более сложным выражением \(\left(\frac{a^{12}b^{-4}}{c^{5}d^{-13}}\right)^{-2}\). Разбор приводит меня к \(a^{-24}b^{8}c^{10}d^{-26}\).
В другой части я перемножаю два отношения с отрицательными показателями степеней, проверяя свои действия по ходу решения.
Уточнение выражений со степенями
Я пытаюсь разобраться с некоторыми правилами действий со степенями. У меня есть общее выражение \((x/y)^{n} = x^{n} y^{-n}\), но затем я замечаю нечто, связанное с \(y = b^{-3}\). Подождите, означает ли это, что мне нужно рассматривать \(y^{-(-4)}\) как отдельный объект? Мне нужно уточнить, как эти преобразования сочетаются друг с другом при работе с показателями степеней. Возможно, нужно пересчитать или скорректировать моё понимание с учётом этих подстановок. Посмотрим, как всё это сочетается!
51.
- \(a^{-8+12}=a^4\)
- \(a^{7-11}=a^{-4}\)
- \(a^{-6+10-20}=a^{-16}\)
- \(a^{-3-5}=a^{-8}\)
- \(a^{-4-(-12)}=a^8\)
- \(a^{17-23-(-15)}=a^9\)
- \(a^{-4\cdot8}=a^{-32}\)
- \(a^{-21+20-(-40)}=a^{39}\)
- \(a^{-50}b^{30}c^{-40}\)
- \(a^{-6-24}b^{9-54}=a^{-30}b^{-45}\)
- \(a^{-24}b^8c^{10}d^{-26}\)
- \(a^{-28+36}b^{-12+108}=a^8b^{96}\)
52.
- \(7^{5-7}=7^{-2}=\dfrac1{49}\)
- \(10^{-12+15}=10^3=1000\)
- \(5^{-12-(-16)}=5^4=625\)
- \(3^{-14-19-(-34)}=3\)
- \(13^{-36+36}=1\)
- \(\dfrac{2^{-4-15}}{2^{-16-3}}=\dfrac{2^{-19}}{2^{-19}}=1\)
Обсуждение
13 сообщенийРеши 51 ,52
По фото правильное решение такое.
51
- \(x^{-10}\cdot x^7=x^{-3}\)
- \(x^8\cdot x^{-6}=x^2\)
- \(x^{-10}\cdot x^{15}\cdot x^{-8}=x^{-3}\)
- \(x^{-2}:x^7=x^{-9}\)
- \(x^{-5}:x^{-12}=x^7\)
- \(x^{16}\cdot x^{-25}:x^{12}=x^{-21}\)
- \((x^5)^{-7}=x^{-35}\)
- \((x^2)^{-8}\cdot(x^{-7})^{-4}:(x^{-3})^9=x^{39}\)
- \((x^4y^6z^{-5})^{-9}=x^{-36}y^{-54}z^{45}\)
- \((x^3y^{-6})^{-5}\cdot(x^{-6}y^{-8})^2=x^{-27}y^{14}\)
- \[ \left(\frac{x^{13}y^{-5}}{c^6m^{-12}}\right)^{-4} =x^{-52}y^{20}c^{24}m^{-48} \]
- \[ \left(\frac{x^8}{y^{-5}}\right)^{-4} \cdot\left(\frac{x^{-4}}{y^8}\right)^{-10} =x^8y^{60} \]
52
\[ 14^6\cdot14^{-8}=14^{-2}=\frac1{196} \]
\[ 10^{-16}\cdot10^{18}=10^2=100 \]
\[ 6^{-10}:6^{-13}=6^3=216 \]
\[ 2^{-18}\cdot2^{-12}:2^{-32}=2^2=4 \]
\[ (11^{-8})^7\cdot(11^{-4})^{-14} =11^{-56}\cdot11^{56}=1 \]
\[ \frac{5^{-6}\cdot(5^{-2})^5}{(5^{-3})^6\cdot5^2} =\frac{5^{-16}}{5^{-16}}=1 \]
Объясни как все это решается и помоги мне решить это все самой
На фото видны задания 119–128. Разберём их так, чтобы ты могла повторить способ сама.
Основные правила
Квадратное уравнение имеет вид:
\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0. \]
- Если выражение раскладывается на множители, используем правило:
\[ AB=0 \quad\Longrightarrow\quad A=0\ \text{или}\ B=0. \]
- Если разложить трудно, используем дискриминант:
\[ D=b^2-4ac, \]
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
- Если \(D<0\), действительных корней нет.
119
Нужно составить уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\).
1)
\[ a=-4,\qquad b=1{,}2,\qquad c=11. \]
Ответ:
\[ \boxed{-4x^2+1{,}2x+11=0}. \]
2)
\[ a=\frac56,\qquad b=-2,\qquad c=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac56x^2-2x=0}. \]
120
Проверим, какие числа являются корнями уравнения:
\[ x^2+2x-15=0. \]
Разложим на множители:
\[ x^2+2x-15=(x+5)(x-3). \]
Тогда:
\[ (x+5)(x-3)=0, \]
\[ x=-5 \quad\text{или}\quad x=3. \]
Из чисел \(2;\,-3;\,-5;\,1;\,3\) корнями являются:
\[ \boxed{-5\text{ и }3}. \]
121
1)
\[ 7x^2-63=0 \]
Вынесем \(7\):
\[ 7(x^2-9)=0. \]
\[ x^2-9=0, \]
\[ (x-3)(x+3)=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=-3}. \]
2)
\[ x^2+11x=0. \]
Вынесем \(x\):
\[ x(x+11)=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=0,\quad x_2=-11}. \]
3)
\[ 5x^2-35=0. \]
\[ 5(x^2-7)=0, \]
\[ x^2=7. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=\sqrt7,\quad x_2=-\sqrt7}. \]
4)
\[ 5x^2-30x=0. \]
Вынесем \(5x\):
\[ 5x(x-6)=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=0,\quad x_2=6}. \]
5)
\[ 64x^2-25=0. \]
Это разность квадратов:
\[ (8x-5)(8x+5)=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=\frac58,\quad x_2=-\frac58}. \]
6)
\[ x^2+64=0. \]
\[ x^2=-64. \]
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Ответ:
\[ \boxed{\text{действительных корней нет}}. \]
122
1)
\[ (2x-3)(x+1)+(x-6)(x+6)+x=0. \]
Раскроем скобки:
\[ (2x-3)(x+1)=2x^2-x-3, \]
\[ (x-6)(x+6)=x^2-36. \]
Подставим:
\[ 2x^2-x-3+x^2-36+x=0. \]
Соберём подобные слагаемые:
\[ 3x^2-39=0. \]
\[ 3(x^2-13)=0, \]
\[ x^2=13. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=\sqrt{13},\quad x_2=-\sqrt{13}}. \]
2)
\[ (3x-5)^2-5(5+3x)=0. \]
Раскроем скобки:
\[ 9x^2-30x+25-25-15x=0. \]
\[ 9x^2-45x=0. \]
Вынесем \(9x\):
\[ 9x(x-5)=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=0,\quad x_2=5}. \]
123
Число \(2\) является корнем, значит вместо \(x\) подставляем \(2\):
\[ x^2-ax-24=0, \]
\[ 2^2-a\cdot2-24=0. \]
\[ 4-2a-24=0, \]
\[ -2a-20=0, \]
\[ -2a=20, \]
\[ \boxed{a=-10}. \]
124
1)
\[ x^2-9|x|=0. \]
Так как \(x^2=|x|^2\), обозначим:
\[ t=|x|,\qquad t\ge0. \]
Получаем:
\[ t^2-9t=0, \]
\[ t(t-9)=0. \]
Значит:
\[ t=0\quad\text{или}\quad t=9. \]
Возвращаемся к \(t=|x|\):
\[ |x|=0\Rightarrow x=0, \]
\[ |x|=9\Rightarrow x=\pm9. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-9,\ 0,\ 9}. \]
2)
\[ x^2+2|x|-10x=0. \]
Здесь нужно рассмотреть два случая.
Случай 1: \(x\ge0\)
Тогда \(|x|=x\):
\[ x^2+2x-10x=0, \]
\[ x^2-8x=0, \]
\[ x(x-8)=0. \]
Получаем:
\[ x=0\quad\text{или}\quad x=8. \]
Оба числа подходят условию \(x\ge0\).
Случай 2: \(x<0\)
Тогда \(|x|=-x\):
\[ x^2-2x-10x=0, \]
\[ x^2-12x=0, \]
\[ x(x-12)=0. \]
Получаются \(x=0\) и \(x=12\), но они не подходят условию \(x<0\).
Ответ:
\[ \boxed{x=0,\quad x=8}. \]
125
Для следующих примеров используем формулу:
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
1)
\[ x^2+2x-24=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x+6)(x-4)=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=-6,\quad x_2=4}. \]
2)
\[ x^2-9x+20=0. \]
\[ (x-4)(x-5)=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=4,\quad x_2=5}. \]
3)
\[ 10n^2-9n+2=0. \]
\[ D=(-9)^2-4\cdot10\cdot2=81-80=1. \]
\[ n_{1,2}=\frac{9\pm1}{20}. \]
Ответ:
\[ \boxed{n_1=\frac12,\quad n_2=\frac25}. \]
4)
\[ 21y^2-2y-3=0. \]
\[ D=(-2)^2-4\cdot21\cdot(-3)=4+252=256. \]
\[ \sqrt D=16. \]
\[ y_{1,2}=\frac{2\pm16}{42}. \]
Ответ:
\[ \boxed{y_1=\frac37,\quad y_2=-\frac13}. \]
5)
\[ x^2+8x-13=0. \]
\[ D=8^2-4\cdot1\cdot(-13)=64+52=116=4\cdot29. \]
\[ \sqrt D=2\sqrt{29}. \]
\[ x=\frac{-8\pm2\sqrt{29}}2. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=-4+\sqrt{29},\quad x_2=-4-\sqrt{29}}. \]
6)
\[ 2x^2-4x-17=0. \]
\[ D=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-17)=16+136=152=4\cdot38. \]
\[ \sqrt D=2\sqrt{38}. \]
\[ x=\frac{4\pm2\sqrt{38}}4. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=1+\frac{\sqrt{38}}2,\quad x_2=1-\frac{\sqrt{38}}2}. \]
7)
\[ 9x^2+42x+49=0. \]
Это полный квадрат:
\[ (3x+7)^2=0. \]
\[ 3x+7=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x=-\frac73}. \]
Это единственный корень, но он двукратный.
8)
\[ x^2-10x+37=0. \]
\[ D=(-10)^2-4\cdot1\cdot37=100-148=-48. \]
Так как \(D<0\), действительных корней нет.
Ответ:
\[ \boxed{\text{действительных корней нет}}. \]
126
1)
\[ (3x+2)(x-4)=5. \]
Раскроем скобки:
\[ 3x^2-12x+2x-8=5, \]
\[ 3x^2-10x-8=5, \]
\[ 3x^2-10x-13=0. \]
\[ D=(-10)^2-4\cdot3\cdot(-13)=100+156=256. \]
\[ x=\frac{10\pm16}{6}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=-1,\quad x_2=\frac{13}{3}}. \]
2)
\[ (x+1)(x-2)-(4x-3)(x+5)=x(x-9). \]
Раскроем скобки:
\[ (x+1)(x-2)=x^2-x-2, \]
\[ (4x-3)(x+5)=4x^2+17x-15. \]
Получаем:
\[ x^2-x-2-(4x^2+17x-15)=x^2-9x. \]
\[ -3x^2-18x+13=x^2-9x. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ -4x^2-9x+13=0. \]
Умножим на \(-1\):
\[ 4x^2+9x-13=0. \]
\[ D=9^2-4\cdot4\cdot(-13)=81+208=289. \]
\[ \sqrt D=17. \]
\[ x=\frac{-9\pm17}{8}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=-\frac{13}{4}}. \]
3)
\[ (3x-5)^2+(4x-1)(4x+1)=29. \]
Раскроем скобки:
\[ (3x-5)^2=9x^2-30x+25, \]
\[ (4x-1)(4x+1)=16x^2-1. \]
\[ 9x^2-30x+25+16x^2-1=29. \]
\[ 25x^2-30x+24=29, \]
\[ 25x^2-30x-5=0. \]
Разделим на \(5\):
\[ 5x^2-6x-1=0. \]
\[ D=(-6)^2-4\cdot5\cdot(-1)=36+20=56=4\cdot14. \]
\[ x=\frac{6\pm2\sqrt{14}}{10}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=\frac{3+\sqrt{14}}5,\quad x_2=\frac{3-\sqrt{14}}5}. \]
127
Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(x\) см. Тогда большая сторона равна \(x+5\) см.
Площадь:
\[ x(x+5)=84. \]
\[ x^2+5x-84=0. \]
Разложим:
\[ (x+12)(x-7)=0. \]
\[ x=-12\quad\text{или}\quad x=7. \]
Длина не может быть отрицательной, поэтому:
\[ x=7\text{ см},\qquad x+5=12\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=2(7+12)=38\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{38\text{ см}}. \]
128
1)
\[ 2x^2-4\sqrt2x+3=0. \]
Здесь:
\[ a=2,\qquad b=-4\sqrt2,\qquad c=3. \]
\[ D=(-4\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot3 =32-24=8. \]
\[ \sqrt D=2\sqrt2. \]
\[ x=\frac{4\sqrt2\pm2\sqrt2}{4}. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=\frac{3\sqrt2}{2},\quad x_2=\frac{\sqrt2}{2}}. \]
2)
\[ x^2-x(\sqrt7-2)-2\sqrt7=0. \]
Уравнение можно разложить так:
\[ (x-\sqrt7)(x+2)=0, \]
потому что
\[ (x-\sqrt7)(x+2) =x^2+(2-\sqrt7)x-2\sqrt7 =x^2-x(\sqrt7-2)-2\sqrt7. \]
Следовательно:
\[ x-\sqrt7=0 \quad\text{или}\quad x+2=0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=\sqrt7,\quad x_2=-2}. \]
Короткий алгоритм для самостоятельного решения
- Раскрыть скобки и перенести всё в одну сторону.
- Привести к виду \(ax^2+bx+c=0\).
- Попробовать разложить на множители.
- Если не получается — найти дискриминант.
- В задачах с \(|x|\) рассмотреть случаи \(x\ge0\) и \(x<0\).
- В задаче с длинами отбросить отрицательный корень.
Реши мне все это же только способ дискриминанта
Решаем задания 119–128 методом дискриминанта.
Для квадратного уравнения
\[ ax^2+bx+c=0 \]
используем:
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Если \(D<0\), действительных корней нет.
119
Здесь нужно только составить уравнения, поэтому дискриминант не нужен.
- При \(a=-4,\ b=1{,}2,\ c=11\):
\[ \boxed{-4x^2+1{,}2x+11=0} \]
- При \(a=\frac56,\ b=-2,\ c=0\):
\[ \boxed{\frac56x^2-2x=0} \]
120
\[ x^2+2x-15=0 \]
\[ a=1,\quad b=2,\quad c=-15. \]
\[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4+60=64. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{64}}2 =\frac{-2\pm8}{2}. \]
\[ x_1=3,\qquad x_2=-5. \]
Из предложенных чисел подходят:
\[ \boxed{-5\text{ и }3}. \]
121
1)
\[ 7x^2-63=0 \]
\[ D=0^2-4\cdot7\cdot(-63)=1764=42^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{\pm42}{14}. \]
\[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=-3} \]
2)
\[ x^2+11x=0 \]
\[ D=11^2-4\cdot1\cdot0=121=11^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-11\pm11}{2}. \]
\[ \boxed{x_1=0,\quad x_2=-11} \]
3)
\[ 5x^2-35=0 \]
\[ D=0^2-4\cdot5\cdot(-35)=700=(10\sqrt7)^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{\pm10\sqrt7}{10}. \]
\[ \boxed{x_1=\sqrt7,\quad x_2=-\sqrt7} \]
4)
\[ 5x^2-30x=0 \]
\[ D=(-30)^2-4\cdot5\cdot0=900=30^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{30\pm30}{10}. \]
\[ \boxed{x_1=6,\quad x_2=0} \]
5)
\[ 64x^2-25=0 \]
\[ D=0^2-4\cdot64\cdot(-25)=6400=80^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{\pm80}{128}. \]
\[ \boxed{x_1=\frac58,\quad x_2=-\frac58} \]
6)
\[ x^2+64=0 \]
\[ D=0^2-4\cdot1\cdot64=-256<0. \]
\[ \boxed{\text{Действительных корней нет}} \]
122
1)
\[ (2x-3)(x+1)+(x-6)(x+6)+x=0. \]
Раскрываем скобки:
\[ 2x^2-x-3+x^2-36+x=0, \]
\[ 3x^2-39=0. \]
\[ D=0^2-4\cdot3\cdot(-39)=468=(6\sqrt{13})^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{\pm6\sqrt{13}}6. \]
\[ \boxed{x_1=\sqrt{13},\quad x_2=-\sqrt{13}} \]
2)
\[ (3x-5)^2-5(5+3x)=0. \]
\[ 9x^2-30x+25-25-15x=0, \]
\[ 9x^2-45x=0. \]
\[ D=(-45)^2-4\cdot9\cdot0=2025=45^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{45\pm45}{18}. \]
\[ \boxed{x_1=5,\quad x_2=0} \]
123
Дано:
\[ x^2-ax-24=0, \]
причём число \(2\) является корнем. Подставим \(x=2\):
\[ 2^2-2a-24=0, \]
\[ 4-2a-24=0, \]
\[ -2a=20, \]
\[ \boxed{a=-10}. \]
Тогда уравнение принимает вид:
\[ x^2+10x-24=0. \]
Найдём его корни через дискриминант:
\[ D=10^2-4\cdot1\cdot(-24)=196=14^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-10\pm14}{2}. \]
\[ \boxed{x_1=2,\quad x_2=-12} \]
124
1)
\[ x^2-9|x|=0. \]
Если \(x\ge0\), то \(|x|=x\):
\[ x^2-9x=0. \]
\[ D=(-9)^2-4\cdot1\cdot0=81. \]
\[ x_{1,2}=\frac{9\pm9}{2}. \]
Получаем \(x=0\) и \(x=9\). Оба подходят.
Если \(x<0\), то \(|x|=-x\):
\[ x^2+9x=0. \]
\[ D=9^2-4\cdot1\cdot0=81. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-9\pm9}{2}. \]
Получаем \(x=0\) и \(x=-9\). Условию \(x<0\) подходит только \(-9\).
Ответ:
\[ \boxed{x=-9,\quad x=0,\quad x=9} \]
2)
\[ x^2+2|x|-10x=0. \]
Если \(x\ge0\):
\[ x^2+2x-10x=0, \]
\[ x^2-8x=0. \]
\[ D=(-8)^2=64. \]
\[ x_{1,2}=\frac{8\pm8}{2}. \]
\[ x=0,\quad x=8. \]
Оба корня подходят.
Если \(x<0\):
\[ x^2-2x-10x=0, \]
\[ x^2-12x=0. \]
\[ D=(-12)^2=144. \]
\[ x_{1,2}=\frac{12\pm12}{2}. \]
Получаем \(x=0\) и \(x=12\), но ни одно число не удовлетворяет условию \(x<0\).
Ответ:
\[ \boxed{x=0,\quad x=8} \]
125
1)
\[ x^2+2x-24=0 \]
\[ D=2^2-4\cdot1\cdot(-24)=100. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-2\pm10}{2}. \]
\[ \boxed{x_1=4,\quad x_2=-6} \]
2)
\[ x^2-9x+20=0 \]
\[ D=(-9)^2-4\cdot1\cdot20=1. \]
\[ x_{1,2}=\frac{9\pm1}{2}. \]
\[ \boxed{x_1=5,\quad x_2=4} \]
3)
\[ 10n^2-9n+2=0 \]
\[ D=(-9)^2-4\cdot10\cdot2=1. \]
\[ n_{1,2}=\frac{9\pm1}{20}. \]
\[ \boxed{n_1=\frac12,\quad n_2=\frac25} \]
4)
\[ 21y^2-2y-3=0 \]
\[ D=(-2)^2-4\cdot21\cdot(-3)=256. \]
\[ y_{1,2}=\frac{2\pm16}{42}. \]
\[ \boxed{y_1=\frac37,\quad y_2=-\frac13} \]
5)
\[ x^2+8x-13=0 \]
\[ D=8^2-4\cdot1\cdot(-13)=116=4\cdot29. \]
\[ \sqrt D=2\sqrt{29}. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-8\pm2\sqrt{29}}2. \]
\[ \boxed{x_1=-4+\sqrt{29},\quad x_2=-4-\sqrt{29}} \]
6)
\[ 2x^2-4x-17=0 \]
\[ D=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-17)=152=4\cdot38. \]
\[ \sqrt D=2\sqrt{38}. \]
\[ x_{1,2}=\frac{4\pm2\sqrt{38}}4. \]
\[ \boxed{x_1=1+\frac{\sqrt{38}}2,\quad x_2=1-\frac{\sqrt{38}}2} \]
7)
\[ 9x^2+42x+49=0 \]
\[ D=42^2-4\cdot9\cdot49=0. \]
\[ x=\frac{-42}{18}. \]
\[ \boxed{x=-\frac73} \]
8)
\[ x^2-10x+37=0 \]
\[ D=(-10)^2-4\cdot1\cdot37=-48<0. \]
\[ \boxed{\text{Действительных корней нет}} \]
126
1)
\[ (3x+2)(x-4)=5. \]
\[ 3x^2-10x-8=5, \]
\[ 3x^2-10x-13=0. \]
\[ D=(-10)^2-4\cdot3\cdot(-13)=256. \]
\[ x_{1,2}=\frac{10\pm16}{6}. \]
\[ \boxed{x_1=\frac{13}{3},\quad x_2=-1} \]
2)
\[ (x+1)(x-2)-(4x-3)(x+5)=x(x-9). \]
После раскрытия скобок:
\[ -3x^2-18x+13=x^2-9x, \]
\[ 4x^2+9x-13=0. \]
\[ D=9^2-4\cdot4\cdot(-13)=289=17^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-9\pm17}{8}. \]
\[ \boxed{x_1=1,\quad x_2=-\frac{13}{4}} \]
3)
\[ (3x-5)^2+(4x-1)(4x+1)=29. \]
\[ 9x^2-30x+25+16x^2-1=29, \]
\[ 25x^2-30x-5=0. \]
Делим на \(5\):
\[ 5x^2-6x-1=0. \]
\[ D=(-6)^2-4\cdot5\cdot(-1)=56. \]
\[ \sqrt D=2\sqrt{14}. \]
\[ x_{1,2}=\frac{6\pm2\sqrt{14}}{10}. \]
\[ \boxed{x_1=\frac{3+\sqrt{14}}5,\quad x_2=\frac{3-\sqrt{14}}5} \]
127
Пусть меньшая сторона прямоугольника равна \(x\) см. Тогда большая сторона равна \(x+5\) см.
\[ x(x+5)=84, \]
\[ x^2+5x-84=0. \]
\[ D=5^2-4\cdot1\cdot(-84)=361=19^2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{-5\pm19}{2}. \]
\[ x_1=7,\qquad x_2=-12. \]
Длина не может быть отрицательной, поэтому стороны:
\[ 7\text{ см и }12\text{ см}. \]
Периметр:
\[ P=2(7+12)=38\text{ см}. \]
\[ \boxed{P=38\text{ см}} \]
128
1)
\[ 2x^2-4\sqrt2x+3=0. \]
\[ D=(-4\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot3=32-24=8. \]
\[ \sqrt D=2\sqrt2. \]
\[ x_{1,2}=\frac{4\sqrt2\pm2\sqrt2}{4}. \]
\[ \boxed{x_1=\frac{3\sqrt2}{2},\quad x_2=\frac{\sqrt2}{2}} \]
2)
\[ x^2-x(\sqrt7-2)-2\sqrt7=0. \]
Здесь:
\[ a=1,\qquad b=2-\sqrt7,\qquad c=-2\sqrt7. \]
\[ D=(2-\sqrt7)^2-4\cdot1\cdot(-2\sqrt7). \]
\[ D=11-4\sqrt7+8\sqrt7 =11+4\sqrt7. \]
Заметим:
\[ 11+4\sqrt7=(\sqrt7+2)^2. \]
Значит,
\[ \sqrt D=\sqrt7+2. \]
\[ x_{1,2} =\frac{-(2-\sqrt7)\pm(\sqrt7+2)}2. \]
\[ \boxed{x_1=\sqrt7,\quad x_2=-2} \]
А в 121-м почему плюс -42 ÷ 14 откуда мы взяли 14
А в 121-м почему плюс -42 ÷ 14 откуда мы взяли 14
В №121(1) дано уравнение:
\[ 7x^2-63=0. \]
Сравниваем с \(ax^2+bx+c=0\):
\[ a=7,\qquad b=0,\qquad c=-63. \]
Формула корней:
\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Поэтому в знаменателе получилось:
\[ 2a=2\cdot7=14. \]
А дискриминант:
\[ D=0^2-4\cdot7\cdot(-63)=1764, \qquad \sqrt D=42. \]
Значит:
\[ x_{1,2}=\frac{0\pm42}{14}. \]
Отсюда:
\[ x_1=\frac{42}{14}=3,\qquad x_2=\frac{-42}{14}=-3. \]
14 — это \(2a=2\cdot7\), а не часть дискриминанта.
Теорема виета
Теорема Виета помогает находить корни квадратного уравнения без формулы дискриминанта.
Для уравнения
\[ ax^2+bx+c=0 \]
корни \(x_1\) и \(x_2\) связаны так:
\[ \boxed{x_1+x_2=-\frac ba}, \qquad \boxed{x_1x_2=\frac ca}. \]
Пример №121(1)
\[ 7x^2-63=0. \]
Здесь:
\[ a=7,\quad b=0,\quad c=-63. \]
Значит:
\[ x_1+x_2=-\frac07=0, \]
\[ x_1x_2=\frac{-63}{7}=-9. \]
Нужно найти два числа, сумма которых равна \(0\), а произведение — \(-9\):
\[ 3+(-3)=0,\qquad 3\cdot(-3)=-9. \]
Поэтому:
\[ \boxed{x_1=3,\quad x_2=-3}. \]
Здесь число \(14\) не появляется, потому что мы использовали теорему Виета, а не формулу дискриминанта.
Например, в №121(2):
\[ x^2+11x=0. \]
\[ x_1+x_2=-11,\qquad x_1x_2=0. \]
Значит, корни:
\[ \boxed{0\text{ и }-11}. \]
588 рассказывается на какие числа
Если ты имеешь в виду разложение 588 на простые множители, то:
\[ 588=2\cdot294=2\cdot2\cdot147=2^2\cdot3\cdot49 \]
\[ \boxed{588=2^2\cdot3\cdot7^2} \]
Также его можно представить парами множителей:
\[ 588=1\cdot588=2\cdot294=3\cdot196=4\cdot147=6\cdot98 \]
\[ =7\cdot84=12\cdot49=14\cdot42=21\cdot28. \]
