Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ \boxed{a_{150}=\frac1{448}} \]

Решение. Введём обратную последовательность: \[ b_n=\frac1{a_n}. \] Тогда из рекуррентной формулы: \[ b_{n+1}=\frac1{a_{n+1}} =\frac{1+3a_n}{a_n} =\frac1{a_n}+3=b_n+3. \]

Получилась арифметическая последовательность: \[ b_1=\frac1{a_1}=1,\qquad b_n=1+3(n-1)=3n-2. \] Значит, \[ a_n=\frac1{3n-2}. \]

При \(n=150\): \[ a_{150}=\frac1{3\cdot150-2} =\frac1{450-2} =\boxed{\frac1{448}}. \]

Проверка: \(a_1=\frac1{3-2}=1\), условие выполняется.