реши 173 и 176

Краткий ответ

173.
а) \((1;6)\), \((-7;-30)\);
б) \(\{(x;y)\mid 2x+3y=1\}\), или \(\displaystyle \left(\frac{1-3t}{2};t\right),\ t\in\mathbb R\);
в) \((3;1)\), \((3;-1)\).

176.
а) \((1;2)\);
б) \((1;1)\);
в) \(\displaystyle \left(\frac{11}{5};-\frac95\right),\ (1;-1),\ \left(\frac{19}{5};-\frac{21}{5}\right),\ \left(\frac{13}{5};-\frac{17}{5}\right)\);
г) \(\displaystyle \left(\frac{16}{3};-\frac{31}{9}\right),\ \left(-\frac53;\frac{11}{9}\right)\).

Решение

При раскрытии модуля используем:

\[ |a|=\begin{cases} a,\quad a\ge 0,\\ -a,\quad a<0. \end{cases} \]

173

а)

\[ \begin{cases} 9x-2y=-3,\\ 3x+|y|=9. \end{cases} \]

1) \(y\ge0\). Тогда \(|y|=y\):

\[ \begin{cases} 9x-2y=-3,\\ 3x+y=9. \end{cases} \]

Из второго \(y=9-3x\). Подставим:

\[ 9x-2(9-3x)=-3, \]

\[ 15x=15,\qquad x=1,\qquad y=6. \]

2) \(y<0\). Тогда \(|y|=-y\):

\[ \begin{cases} 9x-2y=-3,\\ 3x-y=9. \end{cases} \]

Из второго \(y=3x-9\). Тогда:

\[ 9x-2(3x-9)=-3, \]

\[ 3x=-21,\qquad x=-7,\qquad y=-30. \]

Обе пары подходят под условия знака \(y\).

---

б)

\[ \begin{cases} 6x+9y=3,\\ |4x+6y|=2. \end{cases} \]

Из первого уравнения:

\[ 4x+6y=\frac23(6x+9y)=\frac23\cdot3=2. \]

Значит, второе уравнение выполняется автоматически:

\[ |4x+6y|=|2|=2. \]

Поэтому ответ — все точки прямой:

\[ 6x+9y=3\quad\Longleftrightarrow\quad 2x+3y=1. \]

---

в)

Обозначим \(t=|y|\), где \(t\ge0\):

\[ \begin{cases} 3x+10t=19,\\ -4x+5t=-7. \end{cases} \]

Умножим первое уравнение на \(4\), второе — на \(3\):

\[ \begin{cases} 12x+40t=76,\\ -12x+15t=-21. \end{cases} \]

Складываем:

\[ 55t=55,\qquad t=1. \]

Тогда

\[ 3x+10=19,\qquad x=3. \]

Так как \(t=|y|=1\), то

\[ y=1\quad\text{или}\quad y=-1. \]

---

176

а)

\[ \begin{cases} 2|x-1|+3y=6,\\ x-3y=-5. \end{cases} \]

Из второго уравнения:

\[ 3y=x+5. \]

Подставим в первое:

\[ 2|x-1|+x+5=6, \]

\[ 2|x-1|+x=1. \]

Если \(x\ge1\), то

\[ 2(x-1)+x=1 \Rightarrow 3x=3 \Rightarrow x=1. \]

Если \(x<1\), то

\[ 2(1-x)+x=1 \Rightarrow x=1, \]

но это противоречит условию \(x<1\).

Значит, \(x=1\). Тогда

\[ 1-3y=-5 \Rightarrow y=2. \]

Проверка:

\[ 2|1-1|+3\cdot2=6,\qquad 1-3\cdot2=-5. \]

---

б)

\[ \begin{cases} 2|x+1|+3y=7,\\ 3x-2|y-3|=-1. \end{cases} \]

Из второго уравнения:

\[ 3x=2|y-3|-1\ge -1, \]

поэтому

\[ x\ge-\frac13. \]

Следовательно, \(x+1>0\), и \(|x+1|=x+1\). Первое уравнение принимает вид:

\[ 2(x+1)+3y=7, \]

\[ 2x+3y=5. \]

Отсюда

\[ y=\frac{5-2x}{3}. \]

Тогда

\[ y-3=\frac{5-2x}{3}-3=-\frac{2(x+2)}3<0, \]

поэтому

\[ |y-3|=\frac{2(x+2)}3. \]

Подставим во второе уравнение:

\[ 3x-\frac{4(x+2)}3=-1. \]

\[ 9x-4x-8=-3, \]

\[ 5x=5,\qquad x=1. \]

Тогда

\[ 2\cdot1+3y=5 \Rightarrow y=1. \]

---

в)

\[ \begin{cases} |2x+3y+3|=2,\\ |3x+2y-2|=1. \end{cases} \]

Раскрываем модули с двумя вариантами знака:

\[ 2x+3y=-1\quad\text{или}\quad -5, \]

\[ 3x+2y=3\quad\text{или}\quad 1. \]

Решаем четыре системы:

\[ \begin{array}{c|c|c} 2x+3y & 3x+2y & (x;y)\\ \hline -1 & 3 & \left(\frac{11}{5};-\frac95\right)\\ -1 & 1 & (1;-1)\\ -5 & 3 & \left(\frac{19}{5};-\frac{21}{5}\right)\\ -5 & 1 & \left(\frac{13}{5};-\frac{17}{5}\right) \end{array} \]

Все четыре пары удовлетворяют исходным уравнениям.

---

г)

\[ \begin{cases} 2|x-2|+3|y+1|=14,\\ 6x+9y=1. \end{cases} \]

Пусть

\[ u=x-2,\qquad v=y+1. \]

Тогда

\[ 2|u|+3|v|=14, \]

а второе уравнение:

\[ 6(u+2)+9(v-1)=1, \]

\[ 2u+3v=-\frac23. \]

Рассмотрим знаки \(u\) и \(v\).

1) \(u\ge0,\ v<0\):

\[ \begin{cases} 2u-3v=14,\\ 2u+3v=-\frac23. \end{cases} \]

Складываем:

\[ 4u=\frac{40}{3},\qquad u=\frac{10}{3}, \]

\[ v=-\frac{22}{9}. \]

Тогда

\[ x=u+2=\frac{16}{3},\qquad y=v-1=-\frac{31}{9}. \]

2) \(u<0,\ v\ge0\):

\[ \begin{cases} -2u+3v=14,\\ 2u+3v=-\frac23. \end{cases} \]

Складываем:

\[ 6v=\frac{40}{3},\qquad v=\frac{20}{9}, \]

\[ u=-\frac{11}{3}. \]

Тогда

\[ x=2-\frac{11}{3}=-\frac53,\qquad y=-1+\frac{20}{9}=\frac{11}{9}. \]

В остальных случаях противоречие. Проверка для найденных пар:

\[ 6\cdot\frac{16}{3}+9\cdot\left(-\frac{31}{9}\right)=32-31=1, \]

\[ 2\cdot\frac{10}{3}+3\cdot\frac{22}{9}=14. \]

Аналогично подходит и вторая пара.