Решите все задания

Краткий ответ

Задача 6:
\[ 1<x<2. \]

266:
\[ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ 0;\ -1;\ -2;\ -5;\ \frac13;\ -\frac32;\ \frac94. \]

267: \(4;\ 6;\ 1;\ 0.\)

268: \(-1;\ -3;\ \frac12;\ -\frac14.\)

269: \(3;\ 4;\ 1;\ 0.\)

270: \(-2;\ -1;\ \frac14;\ -\frac14.\)

271: \(5;\ -2;\ 3;\ 1;\ 0;\ -\frac13.\)

272: \(4;\ 3;\ -2;\ -3.\)

273: \(-3;\ -3;\ 3;\ -2.\)

274: \(18;\ 16;\ 2;\ 6.\)

275: \(32;\ 64;\ 36;\ 3.\)

276: \(125;\ 144;\ 49;\ 1.\)

277:

1. \(x=216\);
2. \(x=625\);
3. \(x=-3\);
4. \(x=25\);
5. \(x=\frac{11}{2}=5{,}5\).

---

Ключевой принцип

\[ \log_a b=c \iff a^c=b, \] где \(a>0,\ a\ne1,\ b>0\).

Задача 6

Логарифм существует, если его аргумент положителен:

\[ \frac{x-1}{2-x}>0. \]

Критические точки: \(x=1\) и \(x=2\). Дробь положительна только при

\[ \boxed{1<x<2}. \]

Упражнение 266

Представим все числа как степени тройки:

\[ \begin{aligned} &3=3^1,\quad 9=3^2,\quad 27=3^3,\quad 81=3^4,\\ &1=3^0,\quad \frac13=3^{-1},\quad \frac19=3^{-2},\quad \frac1{243}=3^{-5},\\ &\sqrt[3]{3}=3^{1/3},\\ &\frac1{3\sqrt3}=\frac1{3^{3/2}}=3^{-3/2},\\ &9\sqrt[4]{3}=3^2\cdot3^{1/4}=3^{9/4}. \end{aligned} \]

Показатели степеней и есть значения логарифмов.

Упражнения 267–273

Например:

\[ \log_2 16=\log_2 2^4=4,\qquad \log_2\sqrt2=\log_2 2^{1/2}=\frac12. \]

Остальные преобразования:

\[ \begin{aligned} &\frac12=2^{-1},\quad \frac18=2^{-3},\quad \frac1{\sqrt[4]{2}}=2^{-1/4};\\ &\frac19=3^{-2},\quad \frac13=3^{-1},\quad \frac1{\sqrt[4]{3}}=3^{-1/4};\\ &\frac1{32}=\left(\frac12\right)^5,\quad 4=\left(\frac12\right)^{-2},\quad 0{,}125=\left(\frac12\right)^3;\\ &625=5^4,\quad216=6^3,\quad \frac1{16}=4^{-2},\quad\frac1{125}=5^{-3};\\ &125=\left(\frac15\right)^{-3},\quad 27=\left(\frac13\right)^{-3},\\ &\frac1{64}=\left(\frac14\right)^3,\quad 36=\left(\frac16\right)^{-2}. \end{aligned} \]

Упражнения 274–276

Используем формулу:

\[ a^{\log_a b}=b. \]

Например:

\[ 3^{\log_3 18}=18. \]

Также:

\[ \begin{aligned} 3^{5\log_3 2} &=\left(3^{\log_3 2}\right)^5=2^5=32,\\ 8^{\log_2 5} &=(2^3)^{\log_2 5} =\left(2^{\log_2 5}\right)^3=5^3=125,\\ 16^{\log_4 7} &=(4^2)^{\log_4 7}=7^2=49. \end{aligned} \]

Упражнение 277

Переходим от логарифма к степени:

\[ \log_a y=b\iff y=a^b. \]

\[ \begin{aligned} 1)\quad &x=6^3=216;\\ 2)\quad &x=5^4=625;\\ 3)\quad &5-x=2^3=8,\quad x=-3;\\ 4)\quad &x+2=3^3=27,\quad x=25;\\ 5)\quad &0{,}5+x=\left(\frac16\right)^{-1}=6,\\ &x=6-0{,}5=5{,}5=\frac{11}{2}. \end{aligned} \]

Проверка: все найденные аргументы логарифмов положительны, поэтому решения подходят.