У меня вопрос как избавиться от отрицательной степени икс минус пятой степени
Кратко:
\[
x^{-5}=\frac{1}{x^5}, \qquad x\ne 0.
\]
Правило отрицательной степени: \[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Поэтому основание \(x\) оставляем тем же, а знак степени меняем на положительный и записываем выражение в знаменателе: \[ x^{-5}=\frac{1}{x^5}. \]
Например: \[ 3x^{-5}=\frac{3}{x^5}. \]
Проверка: \[ x^5\cdot x^{-5}=x^{5-5}=x^0=1, \] значит, \(x^{-5}\) действительно является обратным числом к \(x^5\).
Обсуждение
6 сообщенийНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) не появляется заново — это то же самое \(x\), которое уже было в выражении \(x^{-5}\). Меняется только место степени.
Используем правило:
\[ x^{-5}=x^{0-5}=\frac{x^0}{x^5}. \]
Так как
\[ x^0=1, \]
получаем:
\[ x^{-5}=\frac{1}{x^5}. \]
То есть отрицательная степень означает обратное число:
\[ x^{-1}=\frac1x,\qquad x^{-2}=\frac1{x^2},\qquad x^{-5}=\frac1{x^5}. \]
Например, если \(x=2\), то:
\[ 2^{-5}=\frac1{2^5}=\frac1{32}. \]
Важно: \(x\ne0\), потому что на ноль делить нельзя.
338,339
Упражнение 338
Чтобы проверить, является ли \(F(x)\) первообразной для \(f(x)\), найдём производную \(F'(x)\). Если \(F'(x)=f(x)\), то общий вид первообразной:
\[ F_{\text{общ}}(x)=F(x)+C. \]
а)
\[ F(x)=\sin x-x\cos x. \]
\[ F'(x)=\cos x-(x\cos x)'= \cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x. \]
Значит,
\[ \boxed{F_{\text{общ}}(x)=\sin x-x\cos x+C}. \]
б)
\[ F(x)=\sqrt{x^2+1}. \]
\[ F'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]
Значит,
\[ \boxed{F_{\text{общ}}(x)=\sqrt{x^2+1}+C}. \]
в)
\[ F(x)=\cos x+x\sin x. \]
\[ F'(x)=-\sin x+(\sin x+x\cos x)=x\cos x. \]
Значит,
\[ \boxed{F_{\text{общ}}(x)=\cos x+x\sin x+C}. \]
г)
\[ F(x)=x-\frac1x. \]
\[ F'(x)=1+\frac1{x^2} =\frac{x^2+1}{x^2}. \]
Значит,
\[ \boxed{F_{\text{общ}}(x)=x-\frac1x+C},\qquad x\ne0. \]
Упражнение 339
Используем условие: график первообразной проходит через точку \(M(x_0;y_0)\), значит
\[ F(x_0)=y_0. \]
а)
\[ f(x)=2\cos x. \]
Первообразная:
\[ F(x)=2\sin x+C. \]
Точка \(M\left(-\frac{\pi}{2};1\right)\):
\[ 2\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)+C=1, \]
\[ -2+C=1,\qquad C=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{F(x)=2\sin x+3}. \]
б)
\[ f(x)=1-x^2. \]
\[ F(x)=x-\frac{x^3}{3}+C. \]
Точка \(M(-3;9)\):
\[ -3-\frac{(-3)^3}{3}+C=9, \]
\[ -3+9+C=9,\qquad C=3. \]
Ответ:
\[ \boxed{F(x)=x-\frac{x^3}{3}+3}. \]
в)
\[ f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right). \]
\[ F(x)=-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+C. \]
Точка \(M\left(\frac{2\pi}{3};-1\right)\):
\[ -\cos\left(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right)+C=-1, \]
\[ -\cos\pi+C=-1, \]
\[ 1+C=-1,\qquad C=-2. \]
Ответ:
\[ \boxed{F(x)=-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-2}. \]
г)
\[ f(x)=\frac1{x^4}=x^{-4}. \]
\[ F(x)=\frac{x^{-3}}{-3}+C =-\frac1{3x^3}+C. \]
Точка \(M\left(\frac12;3\right)\):
\[ -\frac1{3\left(\frac12\right)^3}+C=3. \]
Так как \(\left(\frac12\right)^3=\frac18\), получаем:
\[ -\frac{8}{3}+C=3, \]
\[ C=\frac{17}{3}. \]
Ответ:
\[ \boxed{F(x)=-\frac1{3x^3}+\frac{17}{3}},\qquad x\ne0. \]
Номер 338-й а почему там второе действие умножения не очень поняла
Речь о производной произведения \(x\cos x\). Здесь нужно применить правило производной произведения:
\[ (uv)'=u'v+uv'. \]
В нашем случае:
\[ u=x,\qquad v=\cos x. \]
Тогда:
\[ (x\cos x)'=x'\cos x+x(\cos x)'. \]
Производные отдельных множителей:
\[ x'=1,\qquad (\cos x)'=-\sin x. \]
Подставляем:
\[ (x\cos x)'=1\cdot\cos x+x\cdot(-\sin x) =\cos x-x\sin x. \]
Поэтому:
\[ \begin{aligned} (\sin x-x\cos x)' &=\cos x-(x\cos x)'\\ &=\cos x-(\cos x-x\sin x)\\ &=\cos x-\cos x+x\sin x\\ &=x\sin x. \end{aligned} \]
Важно: \(x\cos x\) — это произведение двух выражений, поэтому производную нельзя находить просто как \(x'\cdot(\cos x)'\). Используется именно правило:
\[ \boxed{(uv)'=u'v+uv'}. \]
