Реши задание на изображении
Анализ уравнения
Я работаю с выражением 9y^4 - 1, которое можно разложить на множители как (3y² - 1)(3y² + 1). Похоже, я рассматриваю, связано ли это с разностью квадратов. Затем есть условие области определения: необходимо убедиться, что 9y^4 - 1 не равно нулю. Значит, нужно проверить, когда 3y² не равно ±1. Это интересная математическая задача!
Объяснение дробных уравнений
Я работаю с некоторыми дробными уравнениями, например с \(\frac{2(3y^3 -12y^2 - y +4)}{9y^4 -1} = 0\), а также проверяю другие примеры. Я понимаю, что нужно объяснить принцип: дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен нулю. Кроме того, следует упомянуть приведение к общему знаменателю и ограничения для этих уравнений, особенно поскольку это предназначено для 9 класса. Я буду использовать формат записи вроде «Ответы: 1) ...».
Краткий ответ:
- \(\displaystyle y=\pm\sqrt{\frac25}\)
- \(\displaystyle y=4\)
- \(\displaystyle x=-1,\ 7\)
- \(\displaystyle x=2,\ \frac{26}{3}\)
- \(\displaystyle x=4\)
1
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
\[ y^2-9\ne0 \quad\Rightarrow\quad y\ne\pm3. \]
Разложим числитель на множители:
\[ 5y^3-15y^2-2y+6 =5y^2(y-3)-2(y-3) =(y-3)(5y^2-2). \]
Тогда
\[ (y-3)(5y^2-2)=0. \]
\[ y=3 \quad\text{или}\quad 5y^2-2=0. \]
Значение \(y=3\) исключается из ОДЗ. Поэтому
\[ \boxed{y=\pm\sqrt{\frac25}}. \]
2
\[ 9y^4-1\ne0 \quad\Rightarrow\quad (3y^2-1)(3y^2+1)\ne0. \]
Следовательно,
\[ y\ne\pm\frac1{\sqrt3}. \]
Разложим числитель:
\[ 3y^3-12y^2-y+4 =3y^2(y-4)-(y-4) =(y-4)(3y^2-1). \]
Получаем:
\[ (y-4)(3y^2-1)=0. \]
Корни: \(y=4\) или \(y=\pm\frac1{\sqrt3}\). Последние два значения запрещены ОДЗ.
\[ \boxed{y=4}. \]
3
ОДЗ:
\[ x-1\ne0,\quad x+3\ne0, \]
то есть
\[ x\ne1,\quad x\ne-3. \]
Умножим уравнение на \((x-1)(x+3)\):
\[ (3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4. \]
Раскроем скобки:
\[ 3x^2+7x-6-(2x^2+x-3)=12x+4, \]
\[ x^2+6x-3=12x+4, \]
\[ x^2-6x-7=0, \]
\[ (x-7)(x+1)=0. \]
\[ \boxed{x=7\ \text{или}\ x=-1}. \]
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
4
Разложим знаменатель:
\[ x^2+4x-21=(x+7)(x-3). \]
ОДЗ:
\[ x\ne-7,\quad x\ne3. \]
Умножим уравнение на \((x+7)(x-3)\):
\[ (5x-1)(x-3)-(2x+2)(x+7)+63=0. \]
Раскроем скобки:
\[ 5x^2-16x+3-(2x^2+16x+14)+63=0, \]
\[ 3x^2-32x+52=0. \]
Разложим на множители:
\[ (x-2)(3x-26)=0. \]
Отсюда
\[ \boxed{x=2\ \text{или}\ x=\frac{26}{3}}. \]
Оба значения допустимы.
5
Разложим знаменатели:
\[ x^2+4x+4=(x+2)^2, \]
\[ x^2-4=(x-2)(x+2), \]
\[ x^3+2x^2-4x-8=(x+2)(x^2-4) =(x-2)(x+2)^2. \]
ОДЗ:
\[ x\ne-2,\quad x\ne2. \]
Подставим разложения:
\[ \frac{x}{(x+2)^2} = \frac4{(x-2)(x+2)} - \frac{16}{(x-2)(x+2)^2}. \]
Приведём правую часть к общему знаменателю:
\[ \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4(x+2)-16}{(x-2)(x+2)^2}. \]
\[ \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)^2} = \frac4{(x+2)^2}. \]
Так как \(x\ne-2\), умножаем на \((x+2)^2\):
\[ x=4. \]
Проверка:
\[ \frac4{36}=\frac19,\qquad \frac4{12}-\frac{16}{72} =\frac13-\frac29=\frac19. \]
Значит,
\[ \boxed{x=4}. \]
