Реши задание на изображении

Ответ

1. \[ \left(\frac{-1+\sqrt{13}}2;\frac{1+\sqrt{13}}2\right),\quad \left(\frac{-1-\sqrt{13}}2;\frac{1-\sqrt{13}}2\right). \]

2. \[ \left(\frac{1+\sqrt{13}}2;\frac{1-\sqrt{13}}2\right),\quad \left(\frac{1-\sqrt{13}}2;\frac{1+\sqrt{13}}2\right). \]

3. Приближённо: \[ (0{,}771;\,2{,}594). \]

4. Приближённо: \[ (-3{,}935;\,-0{,}254),\quad (-0{,}537;\,-1{,}861),\quad (0{,}473;\,2{,}115). \]

Решение

Точки пересечения находятся из равенства правых частей функций.

1) \(y=\dfrac3x\), \(y=x+1\)

\[ \frac3x=x+1,\qquad x\ne0. \]

Умножим на \(x\):

\[ 3=x^2+x, \]

\[ x^2+x-3=0. \]

\[ x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}2. \]

Так как \(y=x+1\), получаем точки:

\[ \boxed{\left(\frac{-1+\sqrt{13}}2;\frac{1+\sqrt{13}}2\right)} \]

и

\[ \boxed{\left(\frac{-1-\sqrt{13}}2;\frac{1-\sqrt{13}}2\right)}. \]

2) \(y=-\dfrac3x\), \(y=1-x\)

\[ -\frac3x=1-x. \]

\[ -3=x-x^2, \]

\[ x^2-x-3=0. \]

\[ x=\frac{1\pm\sqrt{13}}2. \]

Подставляя в \(y=1-x\), получаем:

\[ \boxed{\left(\frac{1+\sqrt{13}}2;\frac{1-\sqrt{13}}2\right)} \]

и

\[ \boxed{\left(\frac{1-\sqrt{13}}2;\frac{1+\sqrt{13}}2\right)}. \]

3) \(y=\dfrac2x\), \(y=x^2+2\)

\[ \frac2x=x^2+2. \]

\[ 2=x^3+2x, \]

\[ x^3+2x-2=0. \]

По графику или численным подбором:

\[ x\approx0{,}771. \]

Тогда

\[ y=\frac2{0{,}771}\approx2{,}594. \]

Точка пересечения:

\[ \boxed{(0{,}771;\,2{,}594)}. \]

Проверка:

\[ \frac2{0{,}771}\approx2{,}594,\qquad 0{,}771^2+2\approx2{,}594. \]

4) \(y=\dfrac1x\), \(y=x^2+4x\)

\[ \frac1x=x^2+4x. \]

\[ 1=x^3+4x^2, \]

\[ x^3+4x^2-1=0. \]

Численные корни:

\[ x_1\approx-3{,}935,\quad x_2\approx-0{,}537,\quad x_3\approx0{,}473. \]

Подставляя в \(y=\dfrac1x\), получаем:

\[ \boxed{(-3{,}935;\,-0{,}254)}, \]

\[ \boxed{(-0{,}537;\,-1{,}861)}, \]

\[ \boxed{(0{,}473;\,2{,}115)}. \]

Для рисунка: график \(y=\dfrac{k}{x}\) — гипербола с асимптотами \(x=0\) и \(y=0\). В третьем пункте парабола имеет вершину \((0;2)\), а в четвёртом:

\[ y=x^2+4x=(x+2)^2-4, \]

поэтому её вершина — \((-2;-4)\).