Реши задание на изображении
Краткий ответ
- а) \(\boxed{x\in[3;4]\cup\{7\}}\)
б) \(\boxed{x\in(2{,}1;3)}\)
в) \(\boxed{x\in(0;8)}\)
г) \(\boxed{x\in(5-\sqrt2;5+\sqrt2)}\)
д) \(\boxed{x\in(-\infty;-4]\cup\{2\}}\)
е) \(\boxed{x\in(-\infty;-4]\cup(0;4]}\)
Решение
а) \((4-x)(x-3)(x-7)^2\ge 0\)
Критические точки: \(x=3,\;4,\;7\).
Так как \((x-7)^2\ge0\), знак произведения в основном определяется выражением \((4-x)(x-3)\):
- при \(x<3\) произведение отрицательно;
- при \(3\le x\le4\) — неотрицательно;
- при \(x>4\) — отрицательно.
Но при \(x=7\) квадрат равен нулю, поэтому эта точка тоже подходит:
\[ \boxed{[3;4]\cup\{7\}}. \]
б) \((2x-6)(2x-4{,}2)<0\)
Найдём нули множителей:
\[ 2x-6=0\Rightarrow x=3, \]
\[ 2x-4{,}2=0\Rightarrow x=2{,}1. \]
Произведение двух линейных множителей с положительными коэффициентами отрицательно между корнями:
\[ \boxed{x\in(2{,}1;3)}. \]
в) \(8x-x^2>0\)
Разложим на множители:
\[ 8x-x^2=x(8-x). \]
Нули: \(x=0\) и \(x=8\). Произведение положительно между ними:
\[ \boxed{x\in(0;8)}. \]
г) \(\displaystyle\frac{-14}{(x-5)^2-2}\ge0\)
Числитель отрицателен, поэтому дробь будет неотрицательной, когда знаменатель отрицателен:
\[ (x-5)^2-2<0, \]
\[ (x-5)^2<2, \]
\[ -\sqrt2<x-5<\sqrt2. \]
Прибавим \(5\):
\[ \boxed{x\in(5-\sqrt2;5+\sqrt2)}. \]
Границы не включаются, потому что при них знаменатель равен нулю.
д) \((2-x)(x^2+2x-8)\ge0\)
Разложим квадратный трёхчлен:
\[ x^2+2x-8=(x+4)(x-2). \]
Тогда
\[ (2-x)(x+4)(x-2)=-(x-2)^2(x+4). \]
Квадрат \((x-2)^2\) неотрицателен. Получаем:
\[ x+4\le0\Rightarrow x\le-4. \]
Кроме того, \(x=2\) даёт ноль произведения и тоже подходит:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-4]\cup\{2\}}. \]
е) \(\displaystyle x\le\frac{16}{x}\)
Сначала учитываем область определения:
\[ x\ne0. \]
Перенесём всё в левую часть:
\[ x-\frac{16}{x}\le0, \]
\[ \frac{x^2-16}{x}\le0, \]
\[ \frac{(x-4)(x+4)}{x}\le0. \]
Критические точки: \(-4,\;0,\;4\). По знакам выражение неположительно на промежутках
\[ (-\infty;-4]\quad\text{и}\quad(0;4]. \]
Итак,
\[ \boxed{x\in(-\infty;-4]\cup(0;4]}. \]
Проверка границ: точки \(-4\) и \(4\) включаются, так как дают ноль; \(x=0\) исключается, поскольку на него делить нельзя.
