Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ \boxed{a_{2020}=-1},\qquad \boxed{S_{2002}=-\frac{29903}{15}}. \]

По условию: \[ a_{n+1}=\frac{a_n-1}{|a_n|+1},\qquad a_1=5. \]

Вычислим первые члены: \[ a_2=\frac{5-1}{|5|+1}=\frac46=\frac23, \] \[ a_3=\frac{\frac23-1}{\left|\frac23\right|+1} =\frac{-\frac13}{\frac53}=-\frac15, \] \[ a_4=\frac{-\frac15-1}{\left|-\frac15\right|+1} =\frac{-\frac65}{\frac65}=-1. \]

Если \(a_n=-1\), то \[ a_{n+1}=\frac{-1-1}{|-1|+1}=\frac{-2}{2}=-1. \] Значит, начиная с \(a_4\), все члены равны \(-1\). Поэтому \[ a_{2020}=-1. \]

В первых \(2002\) членах:

• первые три: \(5,\frac23,-\frac15\);
• с \(a_4\) по \(a_{2002}\) — \(2002-4+1=1999\) членов, равных \(-1\).

Тогда \[ S_{2002}=5+\frac23-\frac15-1999 =\frac{82}{15}-1999 =-\frac{29903}{15}. \]