Задача Задача №3723734
А
А
Построй графики функции и напиши их свойства
Краткий ответ
На фото заданы функции:
- \(y=(0{,}4)^x\);
- \(y=3^x\);
- \(y=(\sqrt3)^x\).
Графики всех трёх функций проходят через точку \((0;1)\) и приближаются к оси \(Ox\), но не пересекают её.
- \(y=(0{,}4)^x\) — убывающая функция;
- \(y=3^x\) и \(y=(\sqrt3)^x\) — возрастающие функции.
Таблица точек для построения
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y=(0{,}4)^x\) | \(6{,}25\) | \(2{,}5\) | \(1\) | \(0{,}4\) | \(0{,}16\) |
| \(y=3^x\) | \(\frac19\) | \(\frac13\) | \(1\) | \(3\) | \(9\) |
| \(y=(\sqrt3)^x\) | \(\frac13\) | \(\frac1{\sqrt3}\approx0{,}58\) | \(1\) | \(\sqrt3\approx1{,}73\) | \(3\) |
Отметь точки на координатной плоскости и соедини их плавными линиями.
- График \(y=(0{,}4)^x\) идёт сверху слева вниз направо.
- Графики \(y=3^x\) и \(y=(\sqrt3)^x\) идут снизу слева вверх направо.
- \(y=3^x\) возрастает быстрее, чем \(y=(\sqrt3)^x\).
Свойства функций
1. \(y=(0{,}4)^x\)
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Область значений: \((0;+\infty)\).
- \(y>0\) при всех \(x\).
- Нулей нет.
- Пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;1)\).
- Возрастает? Нет, убывает на всей \(\mathbb R\).
- Ограничена снизу числом \(0\), но не ограничена сверху.
- Наибольшего и наименьшего значения нет.
- Горизонтальная асимптота: \(y=0\).
- \[ \lim_{x\to+\infty}(0{,}4)^x=0,\qquad \lim_{x\to-\infty}(0{,}4)^x=+\infty. \]
2. \(y=3^x\)
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Область значений: \((0;+\infty)\).
- \(y>0\) при всех \(x\).
- Нулей нет.
- Пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;1)\).
- Возрастает на всей \(\mathbb R\).
- Ограничена снизу числом \(0\), но не ограничена сверху.
- Наибольшего и наименьшего значения нет.
- Горизонтальная асимптота: \(y=0\).
- \[ \lim_{x\to-\infty}3^x=0,\qquad \lim_{x\to+\infty}3^x=+\infty. \]
3. \(y=(\sqrt3)^x\)
Так как \(\sqrt3>1\), свойства такие же, как у \(y=3^x\):
- Область определения: \(\mathbb R\).
- Область значений: \((0;+\infty)\).
- \(y>0\) при всех \(x\).
- Нулей нет.
- Пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;1)\).
- Возрастает на всей \(\mathbb R\).
- Ограничена снизу числом \(0\), но не ограничена сверху.
- Наибольшего и наименьшего значения нет.
- Горизонтальная асимптота: \(y=0\).
Почему графики ведут себя по-разному?
Для показательной функции \(y=a^x\):
- если \(a>1\), функция возрастает;
- если \(0<a<1\), функция убывает.
Здесь:
\[ 0<0{,}4<1,\qquad \sqrt3>1,\qquad 3>1. \]
Проверка: при \(x=0\) всегда получается \(a^0=1\), поэтому все графики проходят через \((0;1)\).
