Реши уравнение 2x²-3x+√4-x=√4-x+27

Запись неоднозначна: важно, входит ли \(x\) под знак корня.

Если имеется в виду \[ 2x^2-3x+\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x}+27, \] то ответ: \[ \boxed{x=-3}. \]

Решение

ОДЗ: \[ 4-x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\le 4. \]

Вычтем \(\sqrt{4-x}\) из обеих частей: \[ 2x^2-3x=27. \]

Перенесём всё в левую часть: \[ 2x^2-3x-27=0. \]

Дискриминант: \[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-27)=225. \]

Корни: \[ x=\frac{3\pm\sqrt{225}}4=\frac{3\pm15}{4}. \]

Получаем: \[ x_1=-3,\qquad x_2=\frac92. \]

Но \(\frac92>4\), поэтому этот корень не входит в ОДЗ. Значит, \[ \boxed{x=-3}. \]

Проверка: \[ 2\cdot(-3)^2-3(-3)+\sqrt7=27+\sqrt7, \] правая часть тоже равна \(27+\sqrt7\).

Если же имелось в виду \(\sqrt4-x\), то оба корня допустимы: \[ x=-3,\quad x=\frac92. \]

Как именно записан корень: \(\sqrt{4-x}\) или \(\sqrt4-x\)?