Реши задание на изображении
Анализ формулировки и порядка
Мне нужно внимательнее рассмотреть фразу «для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность». Это заставляет задуматься о том, можно ли упорядочивать пары. Поскольку общее количество подтверждено как 8010, что совпадает с \(C(90,2)\cdot 2\), всё выглядит верно. Но если разность является знаковой и зависит от порядка в паре, я думаю, что следует брать большее минус меньшее. Я должен ясно это объяснить, начав с краткого ответа, затем приведя основные шаги и проверив результат.
Повторная проверка формул
Я анализирую, как количество меняется при определённых значениях, например при \(x=91\), когда максимум увеличивается с 44 при \(x=90\) до 45. Я проверил формулу, и она работает также для нечётных чисел. Нужно было убедиться в точности вычислений, поскольку при \(x>90\) сумма \(S\) не должна превышать 45. Я также подтвердил это для чисел до 89 включительно, и все значения соответствуют ожидаемым результатам. Теперь важно прояснить границы и формулы!
Ответ: 70 и 71.
Пусть \(n\) — некоторое число.
1. Сколько раз число \(n\) получается как разность
Для разности \(n\) пары имеют вид
\[ (a,\ a+n), \]
где \(a=1,2,\ldots,90-n\). Поэтому разность \(n\) встречается
\[ 90-n \]
раз.
2. Сколько раз число \(n\) получается как сумма
При \(n<90\) пары имеют вид
\[ a+b=n,\qquad a<b. \]
Число таких пар равно
\[ \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor. \]
Значит, для \(n<90\) общее количество появлений:
\[ (90-n)+\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor. \]
Если \(n=2k\):
\[ 90-2k+(k-1)=89-k. \]
\[ 89-k=54 \Rightarrow k=35 \Rightarrow n=70. \]
Если \(n=2k+1\):
\[ 90-(2k+1)+k=89-k. \]
\[ 89-k=54 \Rightarrow k=35 \Rightarrow n=71. \]
Числа не меньше 90 как суммы встречаются не более 45 раз, поэтому подходящих среди них нет.
Проверка
\(70\): \(20\) раз как разность и \(34\) раза как сумма:
\[ 20+34=54. \]\(71\): \(19\) раз как разность и \(35\) раз как сумма:
\[ 19+35=54. \]
Ответ для полей: \(70\), \(71\).
