Реши задание на изображении
Разбор алгебраических выражений
Мне нужно точно разобрать выражение на изображении. Числитель, по-видимому, равен \(a^3 - 9a\), а знаменатель — \(a^2 + a - 12\). Также есть ещё одно выражение, в котором числитель, возможно, равен \(a^5 + 2a^4\), а знаменатель — \(a^3 - a + 10\). Похоже, мне нужно внимательнее изучить детали изображения, возможно, связав это с упражнением из учебника по алгебре о том, когда дробь равна нулю: числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — нет. Давайте увеличим изображение и рассмотрим эти детали!
Анализ рациональных уравнений
Я рассматриваю рациональные уравнения, в которых дробь равна нулю при нулевом числителе и ненулевом знаменателе. В первой части я разложил \(5y^3 - 15y^2 - 2y + 6\) на множители: \((y-3)(5y^2-2)\). Знаменатель равен \(y^2-9\), который раскладывается как \((y-3)(y+3)\). Это даёт ограничения: \(y\) не может быть равен ±3. Числитель имеет корни \(y=3\) (исключён) и \(y=±\sqrt{2/5}\), которые являются решениями. Далее нужно проанализировать второй числитель.
Решение математических задач
Я работаю с несколькими математическими выражениями, начиная с вынесения общего множителя в \(3y^2(y-4) -1(y-4)\), что даёт \((y-4)(3y^2-1)\). Для знаменателя \(9y^4-1\) я нашёл ограничения, при которых \(y^2=1/3\), что приводит к корням \(y=4\).
Далее я рассматриваю другое выражение \(6x^3+48x^2-2x-16\), раскладывая его на \(2(x+8)(3x^2-1)\) и проверяя ограничения. В конце я анализирую \(y^3 -4y^2 -6y+24\), снова подтверждая корни и ограничения.
Пользователь ожидает, что я решу оба упражнения, видимые на изображении, поэтому я продолжу.
Объяснение рациональных дробей
Я использую принцип, согласно которому рациональная дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. При поиске корней важно разложить выражения на множители и учитывать исключения. Мне нужно ясно изложить эти шаги и условия, чтобы облегчить понимание, подчеркнув, когда знаменатель не может быть равен нулю. Множители и исключения имеют решающее значение для точного решения рациональных выражений!
Вычисление математических выражений
Я разбираю математические задачи, связанные с рациональными выражениями. В первом случае я проверяю ограничения и корни. Во втором выражении корни числителя получаются равными четырём и нескольким значениям, запрещённым знаменателем. Мне также нужно тщательно разложить на множители и определить ограничения для всех выражений, особенно для последнего. Это поможет уточнить ответы на упражнения и при необходимости представить краткие шаги решения.
Проверка результата
Возможно, стоит использовать раздел «Проверка результата», чтобы уточнить полученные результаты. Отметив, что при каждом указанном значении числитель равен нулю, а знаменатель — ненулевой, я смогу подчеркнуть важность этой детали. Также может быть полезно явно указать это для таких значений, как 288b, чтобы объяснение было понятным. Так я ясно сообщу результаты наблюдений другим!
На изображении два упражнения — 288 и 289. Решим оба.
Краткий ответ
288.
- а) \(a=-3,\ 0\);
- б) \(a=-2,\ 0\);
- в) \(a=0\).
289.
- а) \(y=\pm\sqrt{\frac25}\);
- б) \(y=4\);
- в) \(x=\pm\frac1{\sqrt3}\);
- г) \(y=4\).
Правило
Дробь равна нулю, если
\[ \frac{P}{Q}=0 \Longleftrightarrow P=0,\quad Q\ne0. \]
То есть сначала приравниваем числитель к нулю, но обязательно исключаем значения, при которых знаменатель равен нулю.
Упражнение 288
а)
\[ \frac{a^3-9a}{a^2+a-12}=0. \]
Разложим на множители:
\[ a^3-9a=a(a-3)(a+3), \]
\[ a^2+a-12=(a-3)(a+4). \]
Числитель равен нулю при
\[ a=0,\quad a=3,\quad a=-3. \]
Знаменатель не должен быть равен нулю:
\[ a\ne3,\quad a\ne-4. \]
Значение \(a=3\) исключаем. Поэтому
\[ \boxed{a=-3,\ 0}. \]
б)
\[ \frac{a^5+2a^4}{a^3-a+10}=0. \]
\[ a^5+2a^4=a^4(a+2). \]
Числитель равен нулю при
\[ a=0\quad\text{или}\quad a=-2. \]
Проверим знаменатель:
\[ 0^3-0+10=10\ne0, \]
\[ (-2)^3-(-2)+10=4\ne0. \]
Следовательно,
\[ \boxed{a=-2,\ 0}. \]
в)
\[ \frac{a^5-4a^4+4a^3}{a^4-16}=0. \]
\[ a^5-4a^4+4a^3=a^3(a-2)^2, \]
\[ a^4-16=(a-2)(a+2)(a^2+4). \]
Числитель равен нулю при
\[ a=0\quad\text{или}\quad a=2. \]
Но \(a=2\) обращает знаменатель в ноль, поэтому это значение исключаем. Получаем
\[ \boxed{a=0}. \]
Упражнение 289
а)
\[ \frac{5y^3-15y^2-2y+6}{y^2-9}=0. \]
\[ 5y^3-15y^2-2y+6=(y-3)(5y^2-2), \]
\[ y^2-9=(y-3)(y+3). \]
Числитель равен нулю при
\[ y=3\quad\text{или}\quad 5y^2-2=0. \]
\[ y^2=\frac25,\qquad y=\pm\sqrt{\frac25}. \]
Значение \(y=3\) исключается, так как оно обращает знаменатель в ноль. Поэтому
\[ \boxed{y=\pm\sqrt{\frac25}}. \]
б)
\[ \frac{3y^3-12y^2-y+4}{9y^4-1}=0. \]
\[ 3y^3-12y^2-y+4=(y-4)(3y^2-1), \]
\[ 9y^4-1=(3y^2-1)(3y^2+1). \]
Числитель равен нулю при
\[ y=4\quad\text{или}\quad 3y^2-1=0. \]
Корни \(3y^2-1=0\) обращают знаменатель в ноль, поэтому остаётся
\[ \boxed{y=4}. \]
в)
\[ \frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0. \]
\[ 6x^3+48x^2-2x-16 =2(x+8)(3x^2-1), \]
\[ x^2-64=(x-8)(x+8). \]
Числитель равен нулю при
\[ x=-8\quad\text{или}\quad 3x^2-1=0. \]
Значение \(x=-8\) запрещено знаменателем. Поэтому
\[ 3x^2=1,\qquad x=\pm\frac1{\sqrt3}. \]
\[ \boxed{x=\pm\frac1{\sqrt3}}. \]
г)
\[ \frac{y^3-4y^2-6y+24}{y^3-6y}=0. \]
\[ y^3-4y^2-6y+24=(y-4)(y^2-6), \]
\[ y^3-6y=y(y^2-6). \]
Числитель равен нулю при
\[ y=4\quad\text{или}\quad y=\pm\sqrt6. \]
Значения \(y=\pm\sqrt6\) запрещены знаменателем. Поэтому
\[ \boxed{y=4}. \]
Во всех пунктах найденные значения дают нулевой числитель и ненулевой знаменатель.
