Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 3456. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Краткий ответ: \(24\).

Пусть меньшее число — \(x\), а большее — \(y\). Так как НОД равен одному из чисел, меньшее число делит большее:

\[ y=kx,\qquad k\in\mathbb N. \]

Тогда по условию:

\[ xy=x\cdot kx=kx^2=3456. \]

Разложим произведение на простые множители:

\[ 3456=2^7\cdot 3^3. \]

Чтобы \(x^2\) делило \(3456\), в \(x\) можно взять не более:

\[ 2^3\quad\text{и}\quad 3^1, \]

поскольку \(2\cdot3\le 7\), а \(2\cdot1\le3\). Поэтому наибольшее возможное \(x\):

\[ x=2^3\cdot3=24. \]

Проверка:

\[ 3456:24=144,\qquad \gcd(24,144)=24. \]

Значит, наименьшее из чисел может принимать наибольшее значение \(\boxed{24}\).