15.13 и 15.15
Вычисление тригонометрических функций
Я рассматриваю значения функций здесь. Итак, когда я вычисляю 3 arctg(-√2/2), получаю примерно -0.61548, что является отрицательным числом. Между тем arcsin(0.6) даёт примерно 0.6435, что является положительным числом. Это сравнение явно показывает, что первое значение меньше второго. Интересно, как эти значения соотносятся друг с другом; я проверяю их знаки и приблизительные величины.
Объяснение значений обратных функций
Я рассматриваю знаки и значения различных обратных функций. Например, я вижу, что arctg(-√2/2) является отрицательным, тогда как arcsin(0.6) — положительным. Я изучу взаимосвязи между этими вычислениями, например сравнение -π/6 и 2π/3. Также встречаются выражения с arctg(-1) и arctg(√3), приводящие к суммам -7π/12 и подчёркивающие принципы, лежащие в основе этих значений. Похоже, мне нужно будет разъяснить пользователю правила выбора значений обратных функций!
Сравнение обратных тригонометрических функций
Я думаю о том, как показать пользователю способ сравнения обратных тригонометрических функций. Интересно, стоит ли сослаться на задание 15.14 как на связанный пример, хотя пользователь спрашивал только о заданиях 13 и 15. Я не хочу добавлять слишком много лишней информации, поскольку разработчик предпочитает краткий подход. Я добавлю предложение о возможной дополнительной строке, связанной с заданием 15.14, длиной менее 60 символов и непосредственно относящейся к теме!
Краткий ответ
15.13. Сравните значения
- \(\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)>\arcsin(-1)\);
- \(\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)>\arcsin\frac{\sqrt3}{2}\);
- \(\arctg\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)<\arcsin 0{,}6\);
- \(\arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)<\arccos(-0{,}5)\).
15.15. Найдите значения
- \(-\dfrac{7\pi}{12}\);
- \(-\dfrac{7\pi}{12}\);
- \(-\dfrac{\pi}{6}\);
- \(-\dfrac{\pi}{2}\).
Ключевые значения обратных функций
Используем:
\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},\qquad \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}; \]
\[ \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},\qquad \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}; \]
\[ \arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=-\frac{\pi}{6},\qquad \arccos(-0{,}5)=\frac{2\pi}{3}. \]
Для третьего сравнения достаточно заметить:
\[ \arctg\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)<0, \qquad \arcsin 0{,}6>0, \]
поэтому первое число меньше второго.
Вычисление 15.15
\[ \arctg(-1)=-\frac{\pi}{4},\quad \arctg\sqrt3=\frac{\pi}{3},\quad \arctg(-\sqrt3)=-\frac{\pi}{3},\quad \arctg\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\pi}{6}. \]
\[ -\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} =-\frac{3\pi}{12}-\frac{4\pi}{12} =-\frac{7\pi}{12}. \]
\[ -\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3} =-\frac{7\pi}{12}. \]
\[ \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{6} =-\frac{\pi}{6}. \]
\[ -\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =-\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{6} =-\frac{\pi}{2}. \]
