Реши задание на изображении
Организация уравнений и проверок
Я планирую организовать свою работу, предоставив краткие ответы по различным разделам, пронумерованным как 222, 223 и 224. Затем я хочу сформулировать основной принцип, сосредоточившись на подстановках вида u=... или t=x²≥0. Похоже, мне нужно показать все шаги, что может занять некоторое время, но это выполнимо. Я хочу убедиться, что в записи строки 222a нет ошибок, поэтому ещё раз проверю изображение на точность. Пока всё выглядит хорошо.
Рассмотрение математического ответа
Думаю, следует быть осторожным при обсуждении «корней» в комплексной области. Похоже, что в русских школьных задачах обычно рассматриваются действительные корни. Пользователь может ожидать обсуждения комплексных и действительных корней, особенно если он изучает алгебру в 8 классе. Если действительных корней нет, я могу сказать «действительных корней нет», не усложняя ответ. Я хочу убедиться, что мой окончательный ответ будет на русском языке, без проблем с форматированием, и будет содержать маркер последней строки.
Краткий ответ (действительные корни):
222.
- а) \(x=-2,-1,1,2\);
- б) \(x=2\);
- в) \(x=-4,3\).
223.
- а) \(x=\pm3\);
- б) \(y=\pm\sqrt2,\ \pm2\);
- в) действительных корней нет;
- г) \(x=\pm\frac12,\ \pm1\);
- д) \(x=\pm\frac1{\sqrt3},\ \pm\sqrt{\frac23}\);
- е) \(y=\pm\frac12\).
224.
- а) \(x=\pm3,\ \pm4\);
- б) действительных корней нет;
- в) \(x=\pm\sqrt2\);
- г) \(t=\pm\sqrt3\);
- д) \(x=\pm\frac1{\sqrt2},\ \pm2\);
- е) действительных корней нет.
222. Замена выражения новой переменной
а) Пусть \(u=x^2+3\). Тогда
\[ u^2-11u+28=0, \]
\[ (u-4)(u-7)=0. \]
Отсюда:
\[ u=4 \quad \text{или} \quad u=7. \]
\[ x^2+3=4 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1; \]
\[ x^2+3=7 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]
б) Пусть \(u=x^2-4x\). Тогда
\[ u^2+9u+20=0, \]
\[ (u+4)(u+5)=0. \]
- \(u=-4\):
\[ x^2-4x=-4 \Rightarrow x^2-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^2=0, \]
\[ x=2. \]
- \(u=-5\):
\[ x^2-4x+5=0. \]
Дискриминант \(D=16-20=-4<0\), действительных корней нет.
в) Пусть \(u=x^2+x\). Тогда
\[ u(u-5)=84, \]
\[ u^2-5u-84=0, \]
\[ (u-12)(u+7)=0. \]
- \(u=12\):
\[ x^2+x=12 \Rightarrow x^2+x-12=0, \]
\[ (x+4)(x-3)=0, \]
\[ x=-4,\quad x=3. \]
- \(u=-7\):
\[ x^2+x+7=0, \]
\(D=1-28=-27<0\), действительных корней нет.
223–224. Биквадратные уравнения
Используем замену:
\[ z=x^2,\qquad z\ge 0. \]
После решения уравнения относительно \(z\) возвращаемся к переменной:
\[ x^2=z \Rightarrow x=\pm\sqrt z. \]
То же самое выполняется для \(y^2\) и \(t^2\).
223
а)
\[ z^2-5z-36=0, \]
\[ (z-9)(z+4)=0. \]
\(z=9\), так как \(z=-4<0\) не подходит.
\[ x=\pm3. \]
б)
\[ z^2-6z+8=0, \]
\[ (z-2)(z-4)=0. \]
\[ y^2=2 \Rightarrow y=\pm\sqrt2; \qquad y^2=4 \Rightarrow y=\pm2. \]
в)
\[ z^2+10z+25=0, \]
\[ (z+5)^2=0 \Rightarrow z=-5. \]
Так как \(z=t^2\ge0\), действительных корней нет.
г)
\[ 4z^2-5z+1=0, \]
\[ (4z-1)(z-1)=0. \]
\[ x^2=\frac14 \Rightarrow x=\pm\frac12; \qquad x^2=1 \Rightarrow x=\pm1. \]
д)
\[ 9z^2-9z+2=0, \]
\[ (3z-1)(3z-2)=0. \]
\[ x^2=\frac13 \Rightarrow x=\pm\frac1{\sqrt3}; \qquad x^2=\frac23 \Rightarrow x=\pm\sqrt{\frac23}. \]
е)
\[ 16z^2-8z+1=0, \]
\[ (4z-1)^2=0. \]
\[ y^2=\frac14 \Rightarrow y=\pm\frac12. \]
224
а)
\[ z^2-25z+144=0, \]
\[ (z-9)(z-16)=0. \]
\[ x=\pm3,\quad x=\pm4. \]
б)
\[ z^2+14z+48=0, \]
\[ (z+6)(z+8)=0. \]
Получаются \(z=-6\) или \(z=-8\), а \(z=y^2\ge0\). Действительных корней нет.
в)
\[ z^2-4z+4=0, \]
\[ (z-2)^2=0. \]
\[ x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt2. \]
г)
\[ z^2-2z-3=0, \]
\[ (z-3)(z+1)=0. \]
Подходит только \(z=3\):
\[ t^2=3 \Rightarrow t=\pm\sqrt3. \]
д)
\[ 2z^2-9z+4=0, \]
\[ (2z-1)(z-4)=0. \]
\[ x^2=\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac1{\sqrt2}; \qquad x^2=4 \Rightarrow x=\pm2. \]
е)
\[ 5z^2-5z+2=0. \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot5\cdot2=25-40=-15<0. \]
Действительных корней нет.
Проверка: во всех пунктах после замены получаются равносильные уравнения; при обратной замене берём только неотрицательные значения \(z=x^2,\ y^2,\ t^2\), а затем получаем два противоположных корня \(\pm\sqrt z\).
