Хорошо, решу все задания. Пришли изображение ещё раз, пожалуйста: сейчас его содержимое не отображается, поэтому я не вижу условия.

Решаю все задания, которые видны на фото. Схемы условные, не в масштабе.

Полезные правила

• Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).
• Вертикальные углы равны.
• Углы вокруг одной точки в сумме дают \(360^\circ\).
• Развёрнутый угол равен \(180^\circ\).

---

Верхняя часть. Вариант 2

1

Луч \(OC\) находится внутри угла \(AOB\), поэтому:

\[ \angle AOB=\angle AOC+\angle COB. \]

Схема:

             A
              ↖
               \ 75°
                O ↗ C
                  \ 45°
                   ↘ B

Пусть

\[ \angle COB=x. \]

Тогда

\[ \angle AOC=x+30^\circ. \]

Составим уравнение:

\[ x+(x+30^\circ)=120^\circ; \]

\[ 2x+30^\circ=120^\circ; \]

\[ 2x=90^\circ; \]

\[ x=45^\circ. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\angle COB=45^\circ}. \]

Также:

\[ \angle AOC=45^\circ+30^\circ=75^\circ. \]

Ответ: \(\angle COB=45^\circ,\ \angle AOC=75^\circ\).

---

2

Угол \(AOD\) — развёрнутый:

\[ \angle AOD=180^\circ. \]

Схема:

             B       C
              \ 34° /
               \   /
A────────────────O────────────────D
                    27°

Луч \(OB\) и луч \(OC\) делят развёрнутый угол на три части:

\[ \angle AOD=\angle AOB+\angle BOC+\angle COD. \]

Пусть

\[ \angle COB=\angle BOC=x. \]

Тогда:

\[ 34^\circ+x+27^\circ=180^\circ; \]

\[ x=180^\circ-34^\circ-27^\circ; \]

\[ x=119^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{\angle COB=119^\circ}. \]

---

3

Дано:

\[ \angle ab=65^\circ,\qquad \angle ac=91^\circ,\qquad \angle cb=26^\circ. \]

Проверим, какая сумма даёт большой угол:

\[ 65^\circ+26^\circ=91^\circ. \]

То есть:

\[ \angle ab+\angle bc=\angle ac. \]

Значит, луч \(b\) находится между лучами \(a\) и \(c\).

Схема:

             a
              ↖
               \ 65°
                O ↗ b
                  \ 26°
                   ↘ c

Ответ: \(\boxed{\text{луч }b}\).

---

Самостоятельная работа № 3

Смежные и вертикальные углы

Вариант 1

1

Смежные углы в сумме дают \(180^\circ\).

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(x+20^\circ\).

Схема:

A────────────────O────────────────C
                  ↗ B

Составим уравнение:

\[ x+(x+20^\circ)=180^\circ; \]

\[ 2x+20^\circ=180^\circ; \]

\[ 2x=160^\circ; \]

\[ x=80^\circ. \]

Больший угол:

\[ 80^\circ+20^\circ=100^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{80^\circ\text{ и }100^\circ}. \]

---

2

Один угол равен \(21^\circ\).

Схема пересекающихся прямых:

       ╲  21°  ╱
        ╲     ╱
         ╲   ╱
          ╲ ╱
           O
          ╱ ╲
         ╱   ╲
        ╱     ╲

Вертикальный ему угол также равен:

\[ 21^\circ. \]

Смежные углы равны:

\[ 180^\circ-21^\circ=159^\circ. \]

Все четыре угла:

\[ 21^\circ,\quad159^\circ,\quad21^\circ,\quad159^\circ. \]

Так как один угол уже дан, остальные:

\[ \boxed{21^\circ,\ 159^\circ,\ 159^\circ}. \]

---

3

Сумма всех четырёх углов при пересечении прямых равна \(360^\circ\).

Сумма трёх углов равна \(325^\circ\), значит, четвёртый угол:

\[ 360^\circ-325^\circ=35^\circ. \]

Вертикальный ему угол также равен:

\[ 35^\circ. \]

Смежные углы:

\[ 180^\circ-35^\circ=145^\circ. \]

Схема:

       ╲       ╱
        ╲     ╱
         ╲   ╱
          ╲ ╱
           O
          ╱ ╲
         ╱   ╲
        ╱     ╲

Ответ: четыре угла равны

\[ \boxed{35^\circ,\ 145^\circ,\ 35^\circ,\ 145^\circ}. \]

---

Вариант 2

1

Смежные углы относятся как \(1:2\).

Пусть они равны \(x\) и \(2x\).

\[ x+2x=180^\circ; \]

\[ 3x=180^\circ; \]

\[ x=60^\circ. \]

Второй угол:

\[ 2x=120^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{60^\circ\text{ и }120^\circ}. \]

---

2

Один угол равен \(102^\circ\).

Вертикальный ему угол также равен:

\[ 102^\circ. \]

Смежные углы:

\[ 180^\circ-102^\circ=78^\circ. \]

Схема:

       ╲ 102° ╱
        ╲    ╱
         ╲  ╱
          ╲╱
          O
          ╱╲
         ╱  ╲

Все четыре угла:

\[ 102^\circ,\quad78^\circ,\quad102^\circ,\quad78^\circ. \]

Остальные три угла:

\[ \boxed{102^\circ,\ 78^\circ,\ 78^\circ}. \]

---

3

Сумма двух углов равна \(78^\circ\).

Смежные углы не могут иметь такую сумму, потому что их сумма всегда равна \(180^\circ\). Значит, это вертикальные углы.

Вертикальные углы равны, поэтому каждый из них:

\[ 78^\circ:2=39^\circ. \]

Оставшиеся углы смежны с углами по \(39^\circ\):

\[ 180^\circ-39^\circ=141^\circ. \]

Ответ: остальные два угла равны

\[ \boxed{141^\circ\text{ и }141^\circ}. \]

Все четыре угла:

\[ 39^\circ,\quad141^\circ,\quad39^\circ,\quad141^\circ. \]

---

Самостоятельная работа № 4

Первый признак равенства треугольников

Вариант 1, задание 1

Дано:

\[ \angle ABD=\angle CBD,\qquad AB=BC. \]

Нужно доказать:

\[ \triangle ABD=\triangle CBD. \]

Схема:

             A
            / \
           /   \
          B-----D
           \   /
            \ /
             C

Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\).

1. По условию:

\[ AB=BC. \]

2. Сторона \(BD\) — общая:

\[ BD=BD. \]

3. По условию:

\[ \angle ABD=\angle CBD. \]

Эти углы являются углами между соответствующими сторонами \(AB,BD\) и \(BC,BD\).

Следовательно, в треугольниках равны две стороны и угол между ними. По первому признаку равенства треугольников:

\[ \boxed{\triangle ABD=\triangle CBD}. \]

Что и требовалось доказать.