Реши задание на изображении

Ось готовий варіант, який можна переписати в зошит. Невидимі ребра на малюнках проведи штриховими лініями.

Вправа 4

Малюнок: накресли правильну чотирикутну піраміду \(SABCD\).
\(O\) — центр квадрата \(ABCD\), \(M\) — середина сторони \(AB\). Проведи \(SO\), \(SM\), \(OM\).

У перерізі \(SOM\):

             S
             |\
             | \
        4 см |  \ SM
             |   \
             O----M
          90°  ∠OSM = 45°

Дано:

\[ SABCD\ — \text{правильна чотирикутна піраміда}, \]

\[ SO=4\text{ см},\qquad \angle OSM=45^\circ. \]

Знайти:

\[ S_{\text{осн}},\qquad S_{\text{біч}}. \]

Розв’язання

Оскільки \(SO\perp (ABCD)\), то

\[ \angle SOM=90^\circ. \]

У прямокутному трикутнику \(SOM\):

\[ \angle OSM=45^\circ, \]

тому другий гострий кут також дорівнює \(45^\circ\). Отже, трикутник \(SOM\) — рівнобедрений:

\[ OM=SO=4\text{ см}. \]

Оскільки \(M\) — середина сторони квадрата,

\[ OM=\frac a2. \]

Тоді

\[ \frac a2=4,\qquad a=8\text{ см}. \]

Площа основи:

\[ S_{\text{осн}}=a^2=8^2=64\text{ см}^2. \]

Знайдемо апофему \(SM\):

\[ SM=\sqrt{SO^2+OM^2} =\sqrt{4^2+4^2} =\sqrt{32}=4\sqrt2\text{ см}. \]

Периметр основи:

\[ P_{\text{осн}}=4a=4\cdot8=32\text{ см}. \]

Площа бічної поверхні:

\[ S_{\text{біч}} =\frac12P_{\text{осн}}\cdot SM =\frac12\cdot32\cdot4\sqrt2 =64\sqrt2\text{ см}^2. \]

Відповідь:

\[ \boxed{S_{\text{осн}}=64\text{ см}^2,\qquad S_{\text{біч}}=64\sqrt2\text{ см}^2.} \]

---

Вправа 5

Малюнок: накресли прямокутний паралелепіпед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Проведи штрихову діагональ \(AC_1\).

          D₁────────C₁
         /│        /│
        / │       / │
       A₁────────B₁ │
       │  │        │ │
       │  D────────│─C
       │ /         │/
       │/          │
       A───────────B

Познач:

\[ AB=15\text{ см},\qquad AD=20\text{ см}, \]

\[ AA_1=h,\qquad AC_1=5\sqrt{26}\text{ см}. \]

Дано:

\[ AB=15\text{ см},\quad AD=20\text{ см},\quad AC_1=5\sqrt{26}\text{ см}. \]

Знайти:

\[ S_{\text{біч}}. \]

Розв’язання

За теоремою Піфагора для просторової діагоналі:

\[ AC_1^2=AB^2+AD^2+AA_1^2. \]

Нехай \(AA_1=h\). Тоді

\[ (5\sqrt{26})^2=15^2+20^2+h^2. \]

\[ 650=225+400+h^2, \]

\[ h^2=25,\qquad h=5\text{ см}. \]

Периметр основи:

\[ P_{\text{осн}}=2(15+20)=70\text{ см}. \]

Площа бічної поверхні:

\[ S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h =70\cdot5=350\text{ см}^2. \]

Відповідь:

\[ \boxed{S_{\text{біч}}=350\text{ см}^2.} \]

---

Вправа 6

Малюнок: накресли трикутну піраміду \(SABC\).
Проведи ребра \(SA\), \(SB\), \(SC\). На них постав однакові позначки, оскільки

\[ SA=SB=SC. \]

Біля вершини \(S\) познач:

\[ SA\perp SB,\qquad SB\perp SC,\qquad SC\perp SA. \]

Схематично:

                 S
                /|\
               / | \
              /  |  \
             A---|---B
              \     /
               \   /
                \ /
                 C

Дано:

\[ SA=SB=SC=x, \]

\[ SA\perp SB,\quad SB\perp SC,\quad SC\perp SA, \]

\[ S_{\text{біч}}=S. \]

Знайти:

\[ S_{\text{осн}}. \]

Розв’язання

Кожна бічна грань є прямокутним рівнобедреним трикутником з катетами \(x\) і \(x\). Тому площа однієї грані:

\[ S_1=\frac{x^2}{2}. \]

Бічних граней три, отже

\[ S_{\text{біч}}=3\cdot\frac{x^2}{2}. \]

За умовою \(S_{\text{біч}}=S\), тому

\[ S=\frac{3x^2}{2}, \]

\[ x^2=\frac{2S}{3}. \]

Сторона основи, наприклад \(AB\), є гіпотенузою прямокутного трикутника \(SAB\):

\[ AB=\sqrt{x^2+x^2}=x\sqrt2. \]

Усі сторони основи рівні, тому основа — рівносторонній трикутник.

\[ S_{\text{осн}} =\frac{\sqrt3}{4}(x\sqrt2)^2 =\frac{\sqrt3}{4}\cdot2x^2 =\frac{\sqrt3}{2}x^2. \]

Підставимо \(x^2=\dfrac{2S}{3}\):

\[ S_{\text{осн}} =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{2S}{3} =\frac{\sqrt3S}{3}. \]

Відповідь:

\[ \boxed{S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt3S}{3} =\frac{S}{\sqrt3}.} \]