Реши задание на изображении
Вычисление правил возведения в степень
Я пытаюсь обобщить правила возведения в степень и привести вычисления. Для выражений мне нужно чётко разобрать шаги.
Начнём с простых примеров:
a) \(2^2 \times 2^3 = 2^{5} = 32\).
b) Для \(2^2 \times 3^2\) я могу переписать выражение как \((2 \times 3)^2 = 6^2 = 36\).
Пора сохранить краткость и ясность!
Объяснение правил возведения в степень
Я разбираю несколько правил возведения в степень. Во-первых, одинаковое основание означает, что я могу складывать показатели степеней, а если степень возводится в степень, я также перемножаю показатели. Кроме того, я нашёл правило произведения при возведении в степень: \((ab)^n = a^n b^n\).
Я покажу вычисления без лишней многословности, но мне нужно включить десятичные значения. Например, \(0.125 = 1/8\). При вычислении \(300^4\) я проверяю: \(300^2 = 90,000\), а возведение этого результата в квадрат даёт \(8,100,000,000\). Всё верно, значит, я закончил!
Краткий ответ
а) \(2^2\cdot2^3=2^5=32\);
б) \(2^2\cdot3^2=6^2=36\);
в) \((2^3)^2=2^6=64\);
г) \((3^2)^3=3^6=729\).а) \(8000\); б) \(10000\); в) \(8\,100\,000\,000\); г) \(490\,000\).
а) \(1\); б) \(1\); в) \(16\); г) \(10\,000\,000\).
а) \(x^{13}\); б) \(a^{11}\); в) \(a^{14}\); г) \(x^{20}\); д) \(m^{20}\); е) \(x^{10}\).
Ключевые правила
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad (a^m)^n=a^{mn},\qquad (ab)^n=a^n b^n. \]
Решение
1. Представление в виде степени
а) Основания одинаковые, складываем показатели:
\[ 2^2\cdot2^3=2^{2+3}=2^5=32. \]
б) Одинаковые показатели можно вынести за скобки:
\[ 2^2\cdot3^2=(2\cdot3)^2=6^2=36. \]
в) При возведении степени в степень показатели перемножаются:
\[ (2^3)^2=2^{3\cdot2}=2^6=64. \]
г)
\[ (3^2)^3=3^{2\cdot3}=3^6=729. \]
2. Вычисление
\[ (2\cdot10)^3=20^3=8000; \]
\[ (2\cdot5)^4=10^4=10000; \]
\[ (3\cdot100)^4=300^4=8\,100\,000\,000; \]
\[ (5\cdot7\cdot20)^2=700^2=490\,000. \]
3. Используем правило \((ab)^n=a^n b^n\)
\[ 8^5\cdot0{,}125^5=(8\cdot0{,}125)^5=1^5=1; \]
\[ 4^6\cdot0{,}25^6=(4\cdot0{,}25)^6=1^6=1; \]
\[ 5^4\cdot0{,}4^4=(5\cdot0{,}4)^4=2^4=16; \]
\[ 1{,}25^7\cdot8^7=(1{,}25\cdot8)^7=10^7=10\,000\,000. \]
4. Упрощение
а)
\[ x^3\cdot(x^2)^5=x^3\cdot x^{10}=x^{13}. \]
б)
\[ (a^3)^2\cdot a^5=a^6\cdot a^5=a^{11}. \]
в)
\[ (a^2)^3\cdot(a^4)^2=a^6\cdot a^8=a^{14}. \]
г)
\[ (x^2)^5\cdot(x^5)^2=x^{10}\cdot x^{10}=x^{20}. \]
д)
\[ (m^2m^3)^4=(m^{2+3})^4=(m^5)^4=m^{20}. \]
е) Здесь \(x=x^1\):
\[ (x^4x)^2=(x^4\cdot x^1)^2=(x^5)^2=x^{10}. \]
Проверка: в каждом преобразовании показатели либо складываются при умножении степеней с одинаковым основанием, либо перемножаются при возведении степени в степень.
