80 81 83

Краткие ответы:

• 80) \(AB=2\) см.
• 81) \(\sin C=0{,}24\).
• 83) \(MP\approx 11{,}5\) см.

Используем теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

80

Стороне \(AB\) противолежит угол \(C\), а стороне \(AC\) — угол \(B\):

\[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}. \]

Подставим данные:

\[ AB=\frac{AC\cdot\sin C}{\sin B} =\frac{\sqrt6\cdot\sin45^\circ}{\sin120^\circ}. \]

\[ AB=\frac{\sqrt6\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} =2\text{ см}. \]

Проверка: \(AB<AC\), так как \(45^\circ<120^\circ\). Полученный результат подходит.

81

Сторона \(AB\) противолежит углу \(C\), а сторона \(BC\) — углу \(A\):

\[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}. \]

Отсюда

\[ \sin C=\frac{AB\cdot\sin A}{BC}. \]

\[ \sin C=\frac{12\cdot0{,}2}{10} =\frac{2{,}4}{10} =0{,}24. \]

83

Сначала найдём третий угол:

\[ \angle M=180^\circ-106^\circ-32^\circ=42^\circ. \]

Сторона \(MP\) противолежит углу \(K\), а сторона \(KP\) — углу \(M\):

\[ \frac{MP}{\sin106^\circ}=\frac{KP}{\sin42^\circ}. \]

Тогда

\[ MP=\frac{8\sin106^\circ}{\sin42^\circ} \approx\frac{8\cdot0{,}9613}{0{,}6691} \approx11{,}5\text{ см}. \]

Проверка: угол \(K=106^\circ\) — самый большой, поэтому противоположная ему сторона \(MP\) должна быть самой длинной. Действительно, \(11{,}5>8\).