Сделай только 156 номер

№ 156

Краткий ответ:

а) \(1\); б) \(a\); в) \(x^2+1\); г) \(-m\).

а)

\[ \left(\frac1y+\frac2{x-y}\right) \left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right) \]

Приведём скобки к общему знаменателю: \[ \frac1y+\frac2{x-y} =\frac{x-y+2y}{y(x-y)} =\frac{x+y}{y(x-y)}; \]

\[ x-\frac{x^2+y^2}{x+y} =\frac{x(x+y)-x^2-y^2}{x+y} =\frac{y(x-y)}{x+y}. \]

Тогда \[ \frac{x+y}{y(x-y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x+y}=1. \]

б)

\[ \left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right): \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba\right) \]

\[ a+b-\frac{2ab}{a+b} =\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} =\frac{a^2+b^2}{a+b}; \]

\[ \frac{a-b}{a+b}+\frac ba =\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)} =\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}. \]

Следовательно, \[ \frac{a^2+b^2}{a+b}: \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}=a. \]

в)

\[ (x^2-1)\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1\right) \]

Так как \(x^2-1=(x-1)(x+1)\), то \[ \frac1{x-1}-\frac1{x+1} =\frac{2}{x^2-1}. \]

Получаем: \[ (x^2-1)\left(\frac{2}{x^2-1}+1\right) =2+x^2-1=x^2+1. \]

г)

\[ \left(m+1-\frac1{1-m}\right): \left(m-\frac{m^2}{m-1}\right) \]

Поскольку \(\dfrac1{1-m}=-\dfrac1{m-1}\), имеем: \[ m+1-\frac1{1-m} =m+1+\frac1{m-1} =\frac{m^2}{m-1}. \]

\[ m-\frac{m^2}{m-1} =\frac{m(m-1)-m^2}{m-1} =-\frac{m}{m-1}. \]

Тогда \[ \frac{m^2}{m-1}:\left(-\frac m{m-1}\right)=-m. \]

Ограничения: в а) \(y\ne0,\ x\ne y,\ x\ne-y\); в б) \(a\ne0,\ a+b\ne0\); в) \(x\ne\pm1\); в г) \(m\ne0,\ m\ne1\).