Реши

Краткий ответ:
\[ \boxed{a_{150}=\frac1{448}} \]

Введём обратную величину: \[ b_n=\frac1{a_n}. \] Тогда из рекуррентной формулы: \[ \frac1{a_{n+1}} =\frac{1+3a_n}{a_n} =\frac1{a_n}+3. \] Значит, \[ b_{n+1}=b_n+3,\qquad b_1=\frac1{a_1}=1. \] Это арифметическая прогрессия: \[ b_n=1+3(n-1)=3n-2. \] Следовательно, \[ a_n=\frac1{3n-2}. \] При \(n=150\): \[ a_{150}=\frac1{3\cdot150-2}=\frac1{448}. \]

Проверка: если \(a_n=\frac1{3n-2}\), то \[ a_{n+1}=\frac{\frac1{3n-2}}{1+\frac3{3n-2}} =\frac1{3n+1} =\frac1{3(n+1)-2}. \]